2021年安徽省合肥市第十三中学高三数学理期末试卷含解析

2021年安徽省合肥市第十三中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，

则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件参考答案：C本题是在集合与逻辑用语的交汇处命题，考查了集合的运算与充要关系的判定，难度一般。因为，所以，所以，所以是的充要条件，故选C2.已知等比数列{}的前n项和为Sn，且S3=7a1，则数列{}的公比q的值为

（

）

A．2

B．3

C．2或－3

D．2或3参考答案：答案：C3.设非零向量a，b，c，若，那么|p|的取值范围为

A．[0,1]

B．[0,2]

C．[0,3]

D．[1,2]参考答案：C因为，，是三个单位向量，因此三个向量同向时，|p|的最大值为3.4.已知函数是自然对数的底数）与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由已知，得到方程即在[，e]上有解，构造函数，求出它的值域，即可得到a的范围．【详解】根据题意，若函数（，是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，即，即方程在区间上有解，设函数，其导数，又，在有唯一的极值点，分析可得：当时，，为减函数，当时，，为增函数，故函数有最小值，又由，，比较得，故函数有最大值，故函数在区间上的值域为；若方程在区间上有解，必有，则有，即的取值范围是.故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的值域问题，考查了构造函数法求方程的解及参数范围，考查了转化思想，属于中档题．5.已知正数的等比中项是2，且，则的最小值是（▲）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C略6.已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为()．A．30°

B．45°

C．135°

D．165°参考答案：B7.已知函数()，如果（），那么的值是（

）

A．

B．3

C．5

D．参考答案：A8.已知抛物线C1：x2=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p>0)交于A、B两点，C1的焦点为F，若?FAB的面积等于1，则C1的方程是A.x2=2y

B.x2=y

c.x2=y

D.x2=y参考答案：A解：抛物线C1的准线是，与抛物线C2:x2=-2py(p>0)联立得C1的焦点为F∴∴9.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线x+3y=0上，则cos2α的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：C【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到tanα的值，然后根据同角三角函数间的基本关系和二倍角的余弦，将cos2α化为关于tanα的式子，代入求值．【解答】解：由题意知：直线的斜率k=tanα=﹣，∴cos2α=cos2α﹣sin2α====．故选：C．10.设集合，集合，则

等于

A．

B．

C．

D．参考答案：D,所以，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则常数

.参考答案：112.数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a2＋a4a1＋a5，a4＋a7a6＋a3。则使得成立的所有正整数m的值为_______________。参考答案：113.已知x＞0，y＞0，x+y2=4，则log2x+2log2y的最大值为．参考答案：2【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．【解答】解：∵实数x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化为xy2≤4，当且仅当x=2，y=时取等号．则log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案为：2．14.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则_______________参考答案：略15.设，则a，b，c从小到大的关系为．参考答案：a＜b＜c略16.定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数： ①f（x）=3x+2；

②f（x）=x2﹣x+1；

③f（x）=ln（x+1）；

④f（x）=（x﹣）3， 在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为．（写出所有满足条件的函数的序号） 参考答案：①④【考点】导数的概念． 【分析】根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案． 【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图． 对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确； 对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确； 对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确； 对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④． 【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题． 17.函数f(x)=x﹣lnx的单调减区间为

▲

．参考答案：(0,1]

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ），求函数的最大值及相应的自变量x的取值.参考答案：解：（1）∵，∴函数的最小正周期． （2）由，得

∴由图像知当即时，有略19.已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，判断是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.参考答案：（1）；（2）是定值0.试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）由条件得，所以方程

4分

（2）易知直线l斜率存在，令由

5分

6分由得

7分由得

8分将代入有.

13分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合应用.20.已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2的直线l（不过坐标原点）与椭圆C交于A，B两点，且点A在x轴上方，点B在x轴下方，若，求直线l的斜率．参考答案：（1）；（2）．（1）由条件知，解得，因此椭圆的方程为．（2）解法一：设，，则，，设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得，由韦达定理得，，由，知，即，带入上式得，，所以，解得，结合图形知，故直线的斜率为

21.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．（1）求证：直线A1B1∥平面ABD；（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据直棱柱的性质判定线线平行，再由线线平行证线面平行即可；（2）先由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可．【解答】证明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，又A1B1?平面ABD，AB?平面ABD，∴A1B1∥平面ABD．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1，又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCC1B1．22.已知函数f（x）＝ex＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．参考答案：（1）解：因为f′（x）＝ex＋2ax，所以f′（1）＝e＋2a，切点为（1，e＋a），所以切线方程为y＝（e＋2a）（x－1）＋（e＋a），因为该切线过点（0，1），所以a＝－1．又，g′（1）＝1＋b，切点为（1，1），所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1．（2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，，所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即g（x）min＝g（1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x＋1．下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝ex－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝ex－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；