解析几何计算机

解析几何计算机第一页，共七十九页，编辑于2023年，星期五IVVIVVII0xyVIIIIIIIIIz第一节空间解析几何初步知识第二页，共七十九页，编辑于2023年，星期五一、空间直角坐标系的建立1.空间直角坐标系这样，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系O-XYZ,点O叫做坐标原点.ozxy过空间一定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般有相同的长度单位，正方向符合“右手定则”第三页，共七十九页，编辑于2023年，星期五2.坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xoy面.yoz面、zox面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII图7-2第四页，共七十九页，编辑于2023年，星期五空间直角坐标系共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.第五页，共七十九页，编辑于2023年，星期五二、点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP<M>(x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyzM为空间一已知点过M作与坐标轴垂直的平面

在建立了空间直角坐标系后，空间中的点与三个有序实数构成的数组就有一一对应关系，进而可建立曲面方程，对曲面几何性质的研究转化为对方程解析性质的研究。第六页，共七十九页，编辑于2023年，星期五(1)若点M在yoz面上,则x=0;在zox面上,y=0;在xoy面上,z=0.(2)若点M在x轴上,则y=z=0在y轴上,则x=z=0在z轴上,则x=y=0(3)各卦限点的坐标Ⅰ(+,+,+)Ⅱ(,+,+)Ⅲ(,,+)Ⅶ(,,)Ⅷ(+,,)Ⅳ(+,,+)Ⅴ(+,+,)Ⅵ(,+,)特别：第七页，共七十九页，编辑于2023年，星期五三、空间两点间的距离M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点

d2=|M1M2|2=|M1N|2+|NM2|2=|P1P2|2+|Q1Q2|2+|R1R2|2=|M1P|2+|PN|2+|NM2|2=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N第八页，共七十九页，编辑于2023年，星期五空间两点的距离公式:特别:点M(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离第九页，共七十九页，编辑于2023年，星期五四、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标1.起点在原点的向量OM设点M(x,y,z)以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.r=OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi

+yj

+zk称OA、OB、OC分别是OM在x轴,y轴,z轴上的分向量,而x,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.简记为r={x,y,z},此称为向量r=OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN第十页，共七十九页，编辑于2023年，星期五2.起点不在原点O的任一向量a=M1M2设点M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2OM1=(x2i+

y2j+

z2k)

(x1i

+y1j

+z1k)

=(x2

x1)i+(y2

y1)

j+(z2

z1)

k

(2)

即a={x2

x1

,y2

y1,z2

z1}为向量a的坐标表示式记ax=x2

x1

,ay=y2

y1,az=z2

z1分别为向量a在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2ao第十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期五五、向量的模与方向余弦的坐标表示式.(1)方向角:向量a与x,y,z轴正向夹角,,,称为a的方向角.(2)方向余弦:方向角的余弦cos,cos,cos,称为方向余弦.(3)向量的模与方向余弦的坐标表达式故有

ax=|a|cos

ay=|a|cosaz=|a|cos设a={ax,ay,az,}ayzx0MNP第十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期五得：(4)(5)第十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期五由(5)式可得cos2+cos2+cos2=1(6)设ao是与a同向的单位向量ao={cos,cos,cos}(7)第十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期五例1.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.解:M1M2={1,1,}|M1M2|=第十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期五一、曲面方程的概念.1.定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.F(x,y,z)=0

Sxyzo第二节曲面及其方程第十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期五

M0二、几种常见曲面的方程.1.球面考虑球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面.即:(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2(1)称方程(1)为球面的标准方程.

M

R特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2

=R2

对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M

M0|2=R2.第十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期五xyzo2.柱面:例如:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R的圆.xoy面上的圆x2+y2=R2叫做柱面的准线.平行于z轴的直线L叫做柱面的母线.曲面可以看作是由平行于z轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面.olM(x,y,0)第十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期五(1)定义:平行于定直线并沿定曲线C移动直线L形成的轨迹叫做柱面.定曲线C叫做柱面的准线.动直线L叫做柱面的母线.第十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期五（2）柱面第二十页，共七十九页，编辑于2023年，星期五第二十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期五例2:方程y2=2x表示.母线平行于z轴的柱面,它的准线是xoy面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做抛物柱面.oxzyy2=2x第二十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期五3.旋转曲面(1)定义:以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴.yxzooC第二十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期五（2）旋转曲面的方程第二十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期五（2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面第二十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期五一、空间曲线的一般方程设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(1)x

y

zoS1S2C第三节空间曲线及其方程第二十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期五例2:方程组表示怎样的曲线?解:方程表示球心在原点O,半径为a的上半球面.方程表示母线平行于z轴的圆柱面.它的准线xOy面上的圆,圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.Oxyz第二十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期五如图空间曲线一般方程为参数方程为第二十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期五二、空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.第二十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期五．

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．1.定义:关于x,y,z的二次方程:第四节二次曲面ax2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,…,i,j为常数.相应地平面被称为一次曲面。研究方法是采用平面截痕法.第三十页，共七十九页，编辑于2023年，星期五2.几种常见二次曲面.(1)椭球面方程所表示的曲面由方程可见：这说明椭球面完全包含在一个以原点O为中心的长方体内。其中a,b,c称为椭球面的半轴。第三十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期五椭球面与三个坐标面的交线：第三十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期五椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.第三十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期五椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.第三十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期五球面截面上圆的方程方程可写为第三十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期五（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.(2)椭圆抛物面:第三十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期五与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线第三十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期五与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.第三十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期五zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：第三十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期五特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.第四十页，共七十九页，编辑于2023年，星期五（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo第四十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期五（三）双曲面单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆.第四十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期五单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.第四十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期五双叶双曲面xyo返回第四十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期五第四十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期五第四十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期五一、平面的点法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.注:1对平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n与上任一向量垂直.第五节平面及其方程第四十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期五2.平面的点法式方程设平面过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)第四十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期五例1:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第四十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期五二、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n={A,B,C}证:A,B,C不能全为0,不妨设A

0,则方程可以化为它表示过定点,且法向量为n={A,B,C}的平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)称为平面的一般方程.第五十页，共七十九页，编辑于2023年，星期五例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第五十一页，共七十九页，编辑于2023年，星期五三、两平面的夹角1.定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量n1

={A1,B1,C1}2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2

={A2,B2,C2}第五十二页，共七十九页，编辑于2023年，星期五所以第五十三页，共七十九页，编辑于2023年，星期五2.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0平面1与2相互平行规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.第五十四页，共七十九页，编辑于2023年，星期五空间直线可看成是两个不平行的平面1和2的交线.一、空间直线的一般方程已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=0那么,交线L上的任何点的坐标满足:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0不在交线L上的点不满足方程组(1)(1)称方程组(1)空间直线的一般方程.xyzO12L第六节空间直线及其方程第五十五页，共七十九页，编辑于2023年，星期五二、空间直线的对称式方程与参数方程1.定义:与空间直线L平行的向量s={m,n,p},称为该直线的方向向量.而s的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.sL第五十六页，共七十九页，编辑于2023年，星期五2.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量s={m,n,p}在L上任取一点M(x,y,z),有M0M//s.而M0M={xx0,yy0,

zz0}所以得比例式(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程.sM0LM第五十七页，共七十九页，编辑于2023年，星期五3.空间直线的参数式方程得:x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt称为空间直线的参数方程.(3)第五十八页，共七十九页，编辑于2023年，星期五第七节综合问题第五十九页，共七十九页，编辑于2023年，星期五一、向量的若干应用1.加法与数乘

建立坐标系;建立直线方程;建