2022-2023学年湖南省株洲市景炎中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省株洲市景炎中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．＜C．＞D．a2＞ab＞b2参考答案：D【考点】：不等式比较大小；不等关系与不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C不成立；选项D，∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2．故选项D正确，故选D．【点评】：本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．2.、已知直线a,b,平面,满足a则使b∥的条件

Aa∥b

Bb∥a且b

C

a与b异面

Da与b不相交参考答案：B3.“a=1”是“函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既非充分条件也不是必要条件参考答案：A4.已知，函数是其反函数，则函数的大致图象是

（

）参考答案：D略5.在中，条件甲：，条件乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件参考答案：C略6.已知数列{an}的通项公式,则=(

)A.2012

B.2013

C.2014

D.2015参考答案：C略7.集合，则=A.

B.

C.

D.参考答案：8.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.【不等式选做题】若关于x的不等式|x﹣1|+x≤a无解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）参考答案：A10.不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≤参考答案：A【考点】3W：二次函数的性质．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则+=t+，∵t+≥2=2，当且仅当t=，即t=时取等号，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______

__．参考答案：略12.已知直线与曲线相切于点(1，3)，则的值为

.参考答案：3

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11解析：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①，又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．【思路点拨】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．13.已知函数，若函数的图象在点处的切线的倾斜角为________参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程。B11【答案解析】4

解析：∵，∴f'（x）=﹣3x2+a，∵函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，∴﹣3+a=1，∴a=4．故答案为：4．【思路点拨】先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可．14.曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为__________．参考答案：y=3x+1考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；解答：解：y′=ex+x?ex+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+1点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题15.若，则

．参考答案：试题分析：由，得.考点：诱导公式及二倍角公式.16.已知实数，且由的最大值是

▲

.

参考答案：由化简得，又实数，图形为圆，如图:，可得，则由几何意义得，则，为求最大值则当过点或点时取最小值，可得所以的最大值是

17.把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为：

。（用数字作答）参考答案：96三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知数列的前项和．（1）求数列的通项公式及的最大值；（2）令,其中,求的前项和．参考答案：（1）因为，所以当时,，当时,，

（3分）令得，当或时,取得最大值12综上,,当或时,取得最大值12

（6分）（2）由题意得

（8分）所以,即数列是首项为,公比是的等比数列故的前项和

①

②所以①②得：

（10分）（12分）19.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE;

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.参考答案：

略20..[选修4-5：不等式选讲]已知a、b、c是正实数，求证：＋＋≥＋＋.

参考答案：

解：法一：因为均为正数，则法二：由(－)2＋(－)2＋(－)2≥0，得2(＋＋)－2(＋＋)≥0，∴＋＋≥＋＋.(10分)21.（13分）食品监管部门要对某品牌食品四项质量指标在进入市场前进行严格的检测，并规定四项指标中只要第四项不合格或其它三项指标中只要有两项不合格，这种品牌的食品就不能上市。巳知每项指标检测是相互独立的。若第四项不合格的概率为，且其它三项指标出现不合格的概率均是（1）求该品牌的食品能上市的概率；（2）生产厂方规定：若四项指标均合格，每位职工可得质量保证奖1500元；若第一、第二、第三项指标中仅有一项不合格且第四项指标合格，每位职工可得质量保证奖500元；若该品牌的食品不能上市，每位职工将被扣除质量保证金1000元。设随机变量表示某位职工所得质量保证奖金数，求的期望。参考答案：解析：（1）该品牌的食品能上市的概率等于1减去该品牌的食品不能上市的概率，即

6分解法二：该品牌的食品能上市的概率等于四项指标都合格或第一、第二、第三项指标中仅有一项不合格且第四项指标合格的概率，即（2）；易知

12分∴的分布列为：1500500∴的期望为

13分22.（14分）已知集合Rn={X|X=（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，an）∈Rn，B=（b1，b2，…，bn）∈Rn，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M?R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P?Rn，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，根据，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2，d（A，B）max=2．（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的