2022年内蒙古自治区赤峰市老房身中学高三数学理联考试题含解析

2022年内蒙古自治区赤峰市老房身中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，其中，，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.已知实数x,y满足不等式组，则的最小值为()A．－13

B．－15

C．－1

D．7参考答案：B3.记集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=cosx，x∈R}则A∪B=（）A．[﹣1.1] B．（﹣2，1] C．（﹣2，+∞） D．（﹣1，1]参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={y|y=cosx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∪B={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞）．故选：C．4.2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2011棵树所在的点的坐标是（

）

A.；

B.；

C.；

D.参考答案：A略5.已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】设，，并且根据椭圆定义和焦半径的范围可知，且，所求式子变形为，再根据的范围求值域.【详解】由题意可知，设，，，且，，，，的范围是.故选：D【点睛】本题考查椭圆的定义和与焦半径有关范围的计算，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.6.已知正三棱柱ABC－的所有顶点都在球O的球面上，AB＝3，＝2，则球O的体积为

A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.

（2012·哈尔滨第六中学三模）直线

与圆交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D因为圆心到直线的距离为，则，又原点到直线的距离为，所以.8.下列说法不正确的是(

)A．函数的零点与的零点之差的绝对值不超过B．函数为偶函数的充要条件是：C．若，，则D.命题p:“”的否定形式为“参考答案：C9.已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，2，4} C．{2，4} D．{0，2}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】根据题意求出集合B，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，则A∩B={0，2，4}．故选：B．10.如图，点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A．①③④

B.②④③

C.①②③

D．②③④参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=（，1），=（0，-1），=（k，）.若与共线，则k=______________.参考答案：k=112.已知向量，满足，（﹣）⊥，向量与的夹角为．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得（）?=﹣=0，再利用两个向量的数量积的定义求得cos＜＞的值，即可求得向量与的夹角．【解答】解：由题意可得（）?=﹣=0，即1﹣1××cos＜＞=0，解得cos＜＞=．再由＜＞∈[0，π]，可得＜＞=，故答案为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．13.设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为

．参考答案：14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M(b，a)，O为坐

标原点，若直线OM与直线垂直，垂足为M,则=__________．参考答案：15.二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，l?R)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________．参考答案：2解：即此方程没有实根的条件．当λ∈R时，此方程有两个复数根，若其有实根，则x2+λx+1=0，且x2－x－λ=0．相减得(λ+1)(x+1)=0．当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内．当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2．16.在△ABC中，分别为角A，B，C的对边，若垂直且，当△ABC面积为时，则b等于（

）A．

B．4

C．

D．2参考答案：D17.双曲线﹣y2=1的焦距是

，渐近线方程是

．参考答案：2,y=±x.【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，对x∈（0，+∞）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=．只需在证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立即可；【解答】解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，则F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），当0＜x＜时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是减函数；当x＞时，F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）．（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，则对x∈R恒成立，∴=4k2﹣8k+4e=e（k﹣）2≤0成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=．下面证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立，设G（x）=elnx﹣x+，则G′（x）==，∴当0＜x＜时，G′（x）＞0，当x＞时，G′（x）＜0，当x=时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明．19.已知不等式的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式bc<0.参考答案：解:(1)因为不等式的解集为{x|x<1或x>b},所以x=1与x=b是方程3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得

解得

所以

(2)原不等式bc<0,可化为2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为.综上所述:当c>2时,不等式bc<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式bc<0的解集为.20.（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；（Ⅱ）设Cn=，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵bn+1﹣bn====2，∴数列{bn}是公差为2的等差数列，又=2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．∴2n=，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴cncn+2==，∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn=…+=2＜3．要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值为3．【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．21.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：（I）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N（μ，δ2）．其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s22，设X表示从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求X的散学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得s2=≈11.95；②若Z﹣N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．参考答案：【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）按照题目要求想结果即可．（Ⅱ）设事件A，事件B，事件C，求出P（A），P（B），P（C）即可；（Ⅲ）求出从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，得到X～B（10，0.6826），求出EX即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.015，s12＞s22；（Ⅱ）设事件A：在甲种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，事件B：在乙种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，事件C：在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20，则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3，∴P（C）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.42；（Ⅲ）计算得：=26.5，由条件得Z～N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，∴从乙种食用油中随机抽取lO桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，依题意得X～B（10，0.6826），∴EX=10×0.6826=6.826．22.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，，，且二面角与二面角都是30°.（1）证明：AF⊥平面EFDC；（2）求直线BF与平面BCE所成角的正弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）推导出AF⊥DF，AF⊥FE，由线面垂直的判定定理即可证明AF⊥平面EFDC．（2）过D作DG⊥EF，由DG⊥平面ABEF，以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，利用向量法求出平面BCE的法向量，则可