2021年山西省忻州市殿上中学高三数学理联考试卷含解析

2021年山西省忻州市殿上中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A，B，C，D四点均在以点为球心的球面上，且，.若球在内且与平面BCD相切，则球直径的最大值为（

）A.1 B.2 C.4 D.8参考答案：D如图所示:取CD的中点O,连接AO,BO,如图，因为BC=BD=，,所以因为，所以AO⊥CD,且AO=2，又因为OD=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，连接,设则即解之得R=5，球的直径最大时，球与平面BCD相切且与球内切，A,O,四点共线，此时球的直径为R+=8.故选D.点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以A,B,C,D为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心的位置，借助方程求出球的半径，直观判断球心的位置，才能迎刃而解.2.函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．【点评】题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．3.设全集,，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A．

B．C．D．

参考答案：C分析：根据所给的文恩图，看出阴影部分所表达的是要求B集合的补集与A集合的交集，整理两个集合，求出B的补集，再求出交集解答：解：由文恩图知阴影部分表示的是A∩CUB

∵A={x|2x（x-2）＜1}={x|0＜x＜2}，

B={x|y=ln（1-x）}={x|x＜1}，

∴阴影部分对应的集合是{x|1≤x＜2}

故选．略4.下列命题中的假命题是（

）

A．

B．

C．

D．，使函数的图像关于轴对称参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用.A2【答案解析】C解析：由指数函数的定义域和值域可知，x∈R，21﹣x＞0，选项A为真命题；当0＜x＜1时，2x＞1，，有．当x=1时，．当x＞1时，．∴x∈（0，+∞），2x＞，命题B为真命题；∵y=1.1x为底数大于1的指数函数，y=x4为幂函数，∴x0∈R，当x＞x0时，恒有1.1x＞x4，选项C为假命题；当α为偶数时，函数y=xα是偶函数，其图象关于y轴对称，选项D为真命题．故选：C．【思路点拨】由指数函数的定义域和值域判断A；对x分类讨论判断B；由指数函数爆炸性判断C；举例说明D正确．5.函数的最小正周期为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：因为，所以函数的最小正周期是，故选A．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、辅助角公式；3、三角函数的最小正周期．6.定义，已知。则

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.把函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（）

A.

B.

C.

D.参考答案：B9.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数字成绩低于100分，则p∨（￢q）表示（）A．甲、乙两人数学成绩都低于100分B．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据命题p和￢q的意义，即可得到结论．【解答】解：∵命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数字成绩低于100分∴命题￢q表示“乙的数字成绩不低于100分”，∴命题（p）∨（￢q）表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分，故选：D．10.右图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是（）A.

B.

C.

D.

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________.参考答案：【答案】5【解析】由得所以解得12.已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为．参考答案：{x|0＜x＜1}【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】常规题型．【分析】由已知当x＞0时，总有f（x）＞xf′（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＞xf′（x），∴xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）为减函数，∵，x＞0，∴，∴，∴，∴0＜x＜1．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】本题关键是证明g（x）为减函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题．13.如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1，第二层在第一层线段的前端作两条与其成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条与其成135°角的线段，长度为其一半．重复前面的作法作图至第n层，设树形的第n层的最高点至水平线的距离为第《层的树形图的总高度，则到第二层的树形图的总高度h2=_______，当n为偶数时，到第n层的树形图的总高度hn=________参考答案：14.设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：

15.如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（）到达点P1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点P2，若点P2的横坐标为，则cosα的值等于．参考答案：略16.已知，则

▲

.参考答案：略17.已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．参考答案：（﹣1，）．【分析】根据题意，由f（x）＞1，变形可得①或②，解①②再取并集可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数的解析式为，若不等式f（x）＞1，①或②，解①可得：﹣1＜x≤0，解②可得：0＜x＜，综合可得：x的取值范围：﹣1＜x＜，即（x）＞1的解集为（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线的参数方程为(t为参数，t∈R)．

（Ⅰ）求直线和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求点F1、F2到直线的距离之和.参考答案：(Ⅰ)直线普通方程为

；

曲线的普通方程为．

(Ⅱ)∵,，∴点到直线的距离

点到直线的距离

∴

19.（本小题满分12分）已知向量（为实数）．（I）时，若，求；（II）若，求的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．参考答案：（I）,,,（4分）

得；（5分）（II）时，， （8分）当时，， （10分）此时，在方向上的投影． （12分）20.菱形ABCD中，平面ABCD，，，（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段EC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.参考答案：（1）证明见解析（2）（3）存在，【分析】（1）建立以为原点，分别以，（为中点），方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，证明向量垂直，得到线面平行；（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求出正弦值；（3）设，则，利用空间向量求表示出线面角的正弦值，求出的值，得解.【详解】解：建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），则，，，，，.（1）证明：，，设为平面的法向量，则，即，可得，又，可得，又因为直线平面，所以直线平面；（2），，，设为平面的法向量，则，即，可得，设为平面的法向量，则，即，可得，所以，所以二面角的正弦值为；（3）设，则，则，，设为平面的法向量，则，即，可得，由，得，解得或（舍），所以.【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的问题，属于中档题.21.已知函数f（x）=，（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可证明结论．【解答】解：（1）求导数得f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．又ex＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．证明：（2）因为g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求导得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），所以当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．又当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，所以当x∈（0，+∞）时，h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考