2021-2022学年湖南省长沙市裕农学校高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省长沙市裕农学校高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量=（，1），=（2，1），则|﹣|2=（）A．B． C．2 D．参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：=．∴|﹣|2=．故选：A．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.设等比数列中，前n项和为,已知，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则

（）A． B．

C． D．参考答案：答案：C4.斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D【分析】利用数形结合，根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围．【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图形分析可知，若小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即，解得双曲线的离心率，故选D．【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的取值范围.5.函数的定义域是A．

B．

C．

D．参考答案：A6.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是()参考答案：C7.已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.设是两个平面向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】由，则是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【详解】由题意是两个平面向量，若，则是成立的；反之，若，则向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用，以及充分条件与必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.如图，椭圆的左、右焦点为，上顶点为A，点P为第一象限内椭圆上的一点，若点A到的距离是点F2到距离的2倍，则直线的斜率为

(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C10.若满足约束条件，则的最小值是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选讲）如图所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E,连结AE，已知ED=3,BD=6,则线段AE的长＝

.

参考答案：12.给出下列四个命题:①已知函数，则；②设回归直线方程为；当变量增加一个单位时，平均增加个单位；③已知服从正态分布,，且，则④对于命题：,使得，则：，均有.其中判断正确的序号是:

参考答案：①④13.已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）?（+）=．参考答案：﹣【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2，+=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）?（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2，+=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=?=，可得（+）?（+）=2??2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．14.已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆的直角坐标方程为_______________，若直线与圆相切，则实数的值为_____________．参考答案：；略15.已知直线与圆相交于两点，且*

*

*

*.参考答案：16.已知平面向量,的夹角为，且,，若，则_____．参考答案：3∵，∴，解得．17.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_______个小正方形，第n个图中有

________________个小正方形.参考答案：28,略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的参数方程为，(为参数，).以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.写出圆心的极坐标，并求当为何值时，圆C上的点到直线的最大距离为3.参考答案：19.（13分）已知的三边分别是，且满足（1）求角A；（2）若，求的面积的最大值.参考答案：【知识点】正弦定理．C8（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）在△ABC中，∵2a=bsinA+acosB，由正弦定理可得∴2=sinB+cosB=2sin（B+），sin（B+）=1，B是三角形内角，∴B=．（Ⅱ）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴22=a2+c2﹣2accos60°，化为a2+c2﹣ac=4．∴4≥2ac﹣ac=ac，当且仅当a=c时取等号．∴S△ABC=acsin60°=ac≤×4=．△ABC面积的最大值：．【思路点拨】（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=，由此求得B的值．（Ⅱ）利用余弦定理和基本不等式即可得出．20.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，，是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试判断直线DF与平面BCE的位置关系，并证明你的结论．参考答案：（Ⅰ）证明：取AB中点H，连结CH，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB,易证四边形AHCD为平行四边形，∴AD=HC=AB，=，

……3分平面平面，且平面平面，平面，而平面，故．……6分（Ⅱ）平面，以下证明：取AC的中点M，连接DM，FM．在平面ABCD中，DM，BC⊥AC，故DM∥BC．

……8分在直角梯形ACEF中，，故FM∥EC．

……10分而BC，CE平面BCE，BC∩CE=C，而DM，MF平面DMF，DM∩MF=M，故平面BCE∥平面DMF，DF平面DMF，从而，DF∥平面BCE．

……12分略21.过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，且.(1)求的方程；(2)若关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点并求出该点的坐标.参考答案：(1)的坐标为，设的方程为