第四章投资组合工具

第四章投资组合工具1第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期五投资组合中的数学与统计符号2第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期五4.1投资组合权数一、相关概念投资组合权数股票i所占资金

xi

=——————————

投资组合的资金总额注：∑xi

=1例4.1,4.33第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期五2.卖空（sellshort）概念：卖掉现在没有的投资。种类：卖空普通股、债券，向银行借款，发行证券等。意义：设置了负的投资组合权数。例：P100下3.其他：空头（shortposition）,多头（longposition）,空头轧平（shortsqueeze）。4第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期五4.2投资组合的收益率

两种计算方法比率法

~期终投资组合资金数（需加入分配到的现金）

RP=———————————————1

期初投资组合的价值2.投资组合加权平均法

~NRP=∑xiri

i=1例4.4

5第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期五4.3投资组合预期收益率1.结论4.1

投资组合预期收益率等于单个股票预期收益率的加权平均：

-N-RP=∑xiri

i=12.杠杆投资（leveraginganinvestment）卖空预期收益低的一种投资，用其产生的收益去增加预期收益较高的投资，带来的收益率大于仅投资于高预期投资时的收益。理论上说，投资者可以通过对收益率较高的资产做多，对较低的资产做空，取得任意高的投资组合预期收益率。

6第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期五

------证：RP-r1=

X1r1+（1-X1）r2-r1

=（

X1-1）（r1-r2）

若X1为高收益投资，则X1越大，即1-X1越小（为负），投资组合收益与单纯投资于高收益投资的差值越大。例：Ｐ1047第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期五4.4方差和标准差1.收益率方差大多数投资者不但关注收益率，也关注风险。一般要提高投资组合的收益率必须增大风险。均方差分析将投资组合的风险定义为其收益率的方差。

注：方差估计：前瞻法，用历史数据估计；修正8第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期五2.标准差为了使表示变量平均离散程度的指标与变量本身的单位相同，引入标准差作为工具。标准差等于方差的平方根。注:9第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期五4.5协方差和相关系数协方差是衡量相关程度的指标，它的值取决于度量单位。两个收益率的协方差等于两个离差乘积的期望值。

协方差与联合分布：计算协方差需要利用两个收益率的联合分布，仅仅依据计算均值和方差的数据，无法得到协方差。例4.9，4.1010第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期五协方差估计：前瞻法、利用历史数据估计例4.11与方差、相关系数的关系P109a.方差是协方差的特例b.协方差转化为相关系数c.相关系数转化为协方差11第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期五4.6投资组合方差与投资组合之间的协方差1.两支股票组成的投资组合的方差注：由公式可得，若两支股票的权重均为正，则两者协方差越大，投资组合的方差越大。例4.12，4.13（回顾法）12第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期五2.多种股票的投资组合

等三个方差公式（P114）注：每个公式都是N2项相加，其中N个方差项，N2—N个协方差项。例4.1513第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期五3.相关系数，分散化与投资组合方差方差公式的变体结论4.2

若两支股票的权重均为正，则两者相关系数越小，投资组合的方差越小。

14第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期五两种投资投资组合中包含一种无风险投资时的投资组合方差若风险和无风险资产的权数皆为正，即都小于1，则投资组合的方差小于单纯投资于风险资产的方差，即15第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期五b.若无风险资产的权数为负，即风险资产的权数大于1，则投资组合的方差大于单纯投资于风险资产的方差，即此处杠杆投资增加了风险。16第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期五投资组合中的两项投资完全相关时，投资组合可能风险为零，即方差和标准差为零。例4.14结论4.3

以下两种投资组合的标准差都等于其两项投资各自的标准差的加权平均数的绝对值。（1）其中一项为无风险投资（2）两项投资完全正相关。特别的，若两项投资中风险较大的那项投资的权数为正，则可去掉绝对值符号。17第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期五投资组合收益与股票收益的协方差18第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期五4.7均值—标准差图1.意义：汇总所有信息，理解投资者在选择投资组合权数时，如何权衡均值和方差。2.均值—标准差图各要素3.考虑三种投资组合19第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期五

一种无风险资产和一种风险资产的组合

20第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期五分析结论4.6

当投资组合的均值和标准差等于两种投资的均值和标准差的加权平均时，均值—标准差图上的投资组合由连接两种投资的直线（AB）表示。证明、表达式见P116。(1)两者的权数都为正根据结论4.1，4.3，4.6，此种投资组合符合结论4.6所描述的情况。21第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期五(2)风险投资权数为负(表达式推导见P117)

此种投资组合的图像为直线AC，由其标准差和均值的表达式可得，卖空越多的风险资产，投资组合收益的均值越低，标准差越大。22第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期五(3)无风险投资权数为负

a.此处情况同ppt16，图像为直线AB的B以上的部分

b.由此得出结论4.7

当投资者通过借入无风险资产来增加风险资产的持有量时，投资组合的风险也随之增加。(根据权数大小，通过卖空一种风险证券来增加另一种风险债券的持有量时，风险也可能增加。)23第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期五两种完全正相关或完全负相关资产的投资组合(1)完全正相关24第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期五分析a.图上信息

A:全部投资于股票1B:全部投资于股票2AB:两支股票的权数都为正

A以下:卖空股票2，股票1”过分多头”

B以上:卖空股票1，股票2”过分多头”由图可知有消除风险，即使得投资组合方差为0的可能性。只需按C点的投资组合比例使一种投资处于多头，一种处于空头。25第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期五b.表达式推导26第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期五27第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期五(2)完全负相关（图像见下一标题）分析a.图像与完全正相关类似，也是一对直线；区别:通过持有两种投资的多头消除风险。b.表达式推导28第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期五29第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期五其他资产组合可能的收益率均值和标准差30第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期五分析a.图上信息：这些投资组合的图像都位于两支股票完全正相关时图像的左侧。

b.释图：本图假设前提是两支股票的权数都为正，不完全相关。根据结论4.2（权数皆正时，相关系数越小，方差越小），这些投资组合收益率的标准差将小于两支股票完全相关时的标准差，即小于两支股票收益率标准差的加权平均值。31第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期五c.说明：图形的弯曲程度取决于两种收益率的相关系数，相关系数越小，曲率越大。d.总结：取得最小方差投资组合时若两者收益率的相关系数不大，则两者权数都为正。若两者收益率的相关系数足够大，需在一种投资上处于多头，在另一种出于空头。32第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期五4.8将协方差解释为边际方差

1.结论4.8

保持其他股票的权数不变，卖空一项与投资组合协方差为0的投资来增持股票，该股票在投资组合中权数发生微小变化时，该投资组合收益率方差的变化与该股票与投资组合的收益率的协方差成比例。证明：见P12033第三十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期五2.两种影响若股票收益率与投资组合收益率正相关，则增持股票将加大投资组合的方差。若股票收益率与投资组合收益率负相关，则增持股票将减小投资组合的方差。3.边际方差结论的几种数字说明（P121）通过减少无风险资产的仓位或卖空的融资方式增持股票，即结论4.8所描述情况。通过减少一种风险资产的仓位或卖空的融资方式增持股票，边际方差与这两种股票各自与投资组合收益率协方差的差成比例→结论4.934第三十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期五结论4.9

当股票A与股票B各自的收益率与投资组合收益率只之间的协方差之差为正时，略微增加股票A的持有量并减持相应金额的股票B，会提高投资组合的收益率的方差。当二者之差为负时，这种调整会减少投资组合收益率的方差。（例4.17）说明：当投资组合进行很小但不是