江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）1．（3分）下列各交通标志中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在，，中，无理数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（3分）等腰三角形的周长为14cm，若一边长为6cm，则底边为（）A．6cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（）A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点6．（3分）如图，点B、C、D共线，AC＝BE，AC⊥BE，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝13，DE＝6，则CD的长是（）A．7 B．8 C．9 D．107．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．60°8．（3分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（）A．7 B．9 C．11 D．149．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CEF．其中正确的是（）A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④10．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE、CE，则△BDE面积的最大值为（）A．3 B． C．4 D．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．其中第18题第一空1分，第二空2分．只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．）11．（3分）4的算术平方根是．12．（3分）的相反数是．13．（3分）如图，OB＝OD，∠1＝∠2，添加一个条件：，使得△ABO≌△CDO．（写出一种情况即可）14．（3分）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，BM＝3，CN＝4．则MN＝．15．（3分）等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为．16．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，点D，E分别是BC，AC边上的中点，那么DE＝．17．（3分）如图，在△ABC中，D是边AC的中点，∠EDF＝90°，则CEEF﹣AF．（填“＞”、“＝”或“＜”）18．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝60°，∠DCA＝∠DBA，AB＝BC，则△ABC是三角形；若，AD＝2，CD＝4，则BD的长为．三、解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）计算：（1）；（2）．20．（8分）求下列各式中的x．（1）4x2+2＝66；（2）（x﹣3）3＝﹣125．21．（8分）已知2a﹣1为4的算术平方根，2为3b+2的立方根．（1）求a、b的值；（2）求2a+b的平方根．22．（6分）已知点A、F、E、D在同一条直线上，AF＝DE，BE∥CF，BE＝CF．求证：AB∥CD．23．（8分）如图1，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E．（1）求证：AD＝AE；（2）在图1的条件下，如图2，点M、N分别在AB、AC上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的长．24．（8分）请仅用一把有刻度的直尺完成下列图形．（不写画法，保留画图痕迹．如果画图过程中用到有关数据，请先标注适当字母，然后再把数据标注在图形右侧虚线框内，否则不得分．）（1）如图1，已知△ABC是等边三角形，求作点P，使点P到△ABC三边距离相等；（2）如图2，已知△ABC是一般三角形，求作点Q，使点Q到△ABC三边距离相等．25．（10分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝12cm，BC＝18cm，点E在边AB上，AE＝4cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上由点D向C点运动，运动时间为ts，两个点有一个点停止运动则全部停止运动．（1）当点Q运动的速度为1cm/s，△PCQ为等腰三角形时，求运动时间t的值；（2）当△BPE与△CQP全等时，点Q运动的速度是多少？26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，DE⊥AC，DE所在的直线与AB所在的直线交于点E．（1）若点E在AB上，AB＝10，△BCE的周长为16，求BC的长；（2）若∠A＝n°（0＜n＜180且n≠60），求∠BCE的度数．27．（10分）折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为证明一个命题提供思路和方法．【动手操作】如图1，把正方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF；将点B翻折到EF上点B′，折痕为CG；连接B′D．（1）判断△B′CD的形状并说明理由；【类比操作】如图2，点P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，折叠纸片，使B与P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B折叠后落在EF上的点B处，展平纸片，得到折痕GH、EF与GH交于点O；连接BP′、BB′．（2）求证：点O在BP′的垂直平分线上；（3）试探究∠P′BB′与∠CBB′之间的数量关系，并说明理由．

2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）1．（3分）下列各交通标志中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）在，，中，无理数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，在，，中，无理数有，，共2个．故选：C．【点评】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．3．（3分）等腰三角形的周长为14cm，若一边长为6cm，则底边为（）A．6cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm【分析】分两种情况进行讨论即可．【解答】解：当底为6cm时，腰为（14﹣6）÷2＝4cm，此时三边为：6cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；当腰为6cm时，底为14﹣6﹣6＝2cm，此时三边为：6cm，6cm，2cm，符合三角形三边关系；故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键．4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．＝2，故此选项不合题意；B．＝2，故此选项不合题意；C．＝﹣2，故此选项符合题意；D．＝﹣2，故此选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了立方根、二次根式的性质与化简，正确化简各数是解题关键．5．（3分）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（）A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．【解答】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等，∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．6．（3分）如图，点B、C、D共线，AC＝BE，AC⊥BE，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝13，DE＝6，则CD的长是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵AC⊥BE，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A+∠ABE＝∠ABE+∠EBD＝90°，∴∠A＝∠EBD，在△ABC与△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝DE＝6，AB＝BD＝13，∴CD＝BD﹣BC＝13﹣6＝7，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，利用AAS证明△ABC≌△BDE是解题的关键．7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC＝∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC的度数，进而得到∠DEB+∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CFE+∠FEC＝180°﹣65°＝115°，∴∠DEB+∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°﹣115°＝65°，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，关键是掌握三角形内角和是180°．8．（3分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（）A．7 B．9 C．11 D．14【分析】先确定出CD＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．【解答】解：如图，∵CD：BD＝3：4．设CD＝3x，则BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，∵BC＝21，∴7x＝21，∴x＝3，∴CD＝9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，∴点D到AB边的距离是9，故选：B．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，线段的和差，解本题的关键是掌握角平分线的性质定理．9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CEF．其中正确的是（）A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【分析】根据∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“ASA”证明△BCF≌△BGF，可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出∠BDF＝∠CEF，BD＝CE∠DBF＝∠ECF，利用ASA证明△BDF≌△CEF，可对④进行判断．【解答】解：∵∠BAC＝60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线，∴∠EBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB＝×（180°﹣∠BAC）＝60°，∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°，故①正确，符合题意；在△BDF和△CEF中，∠BFD＝∠CFE＝60°，但没有相等的边，∴△BDF和△CEF不一定全等，∴BD≠CE，故②错误，不符合题意；∵∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝60°，∠BFC＝120°，∵FG平分∠BFC，∴∠BFG＝∠BFC＝60°＝∠DFB，在△BDF和△BGF中，，∴△BDF≌△BGF（ASA），∴BD＝BG，同理可得，△CEF≌△CGF，∴CE＝CG，∴BC＝BG+CG＝BD+CE，故③正确，符合题意；若BE⊥AC，∴∠ABE＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，∴BD＝AB＝AC＝CE，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（ASA），故④正确，符合题意；∴正确的结论是①③④，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE、CE，则△BDE面积的最大值为（）A．3 B． C．4 D．【分析】过点E作EN⊥AB交BA的延长线于N，根据AAS证得△EDN≌△DCA，得出EN＝DA，根据三角形三边关系可得AB＝6，设BD＝x，则EN＝DA＝6﹣x，根据三角形面积公式S△BDE＝×BD•EN建立二次函数模型，然后根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：如图，过点E作EN⊥AB交BA的延长线于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，由旋转可知，∠EDC＝90°，DE＝DC，∴∠EDN+∠CDA＝90°，∴∠DEN＝∠CDA，∴△EDN≌△DCA（AAS），∴EN＝DA，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝6，设BD＝x，则EN＝DA＝6﹣x，∴S△BDE＝BD•EN＝x（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+，∴当BD＝3时，S△BDE有最大值为，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数的性质等，得到三角形的面积关于x的函数解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．其中第18题第一空1分，第二空2分．只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．）11．（3分）4的算术平方根是2．【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．12．（3分）的相反数是2﹣．【分析】根据相反数的意义求解．【解答】解：的相反数是：2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查了实数的性质，理解相反数的意义是解题的关键．13．（3分）如图，OB＝OD，∠1＝∠2，添加一个条件：OA＝OC（答案不唯一），使得△ABO≌△CDO．（写出一种情况即可）【分析】先证明∠AOB＝∠COD，由于OB＝OD，则根据全等三角形的判定方法，当添加OA＝OC或∠A＝∠OCD或∠B＝∠D时，△ABO≌△CDO．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，即∠AOB＝∠COD，∵OB＝OD，∴当添加OA＝OC时，△ABO≌△CDO（SAS）；当添加∠A＝∠OCD时，△ABO≌△CDO（AAS）；当添加∠B＝∠D时，△ABO≌△CDO（ASA）；故答案为：OA＝OC．（答案不唯一）【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．14．（3分）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，BM＝3，CN＝4．则MN＝7．【分析】根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，从而得出OM＝BM，ON＝CN，再根据MN＝MO+ON，即可求出MN的值．【解答】解：∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC，∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴OM＝BM，ON＝CN，∵BM＝3，CN＝4，∴OM＝3，ON＝4，∴MN＝MO+ON＝3+4＝7；故答案为：7．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO是解题的关键．15．（3分）等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为40°．【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．故答案为：40°．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．16．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，点D，E分别是BC，AC边上的中点，那么DE＝4．【分析】根据三角形的中位线定理即可直接求解．【解答】解：∵点D，E分别是BC，AC边上的中点，即DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×8＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，理解定理是关键．17．（3分）如图，在△ABC中，D是边AC的中点，∠EDF＝90°，则CE＞EF﹣AF．（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】延长FD到H，使得DH＝DF，连接CH，EH．由“SAS”可证△ADF≌△CDH，推出AF＝CH，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，延长FD到H，使得DH＝DF，连接CH，EH．∵D是边AC的中点，∴AD＝CD，在△ADF和△CDH中，，∴△ADF≌△CDH（SAS），∴AF＝CH，∵∠EDF＝90°，∴ED⊥FH，∵DF＝DH，∴EF＝EH，在△ECH中，CH+CE＞EH，∴CE＞EH﹣CH，∴CE＞EF﹣AF，故答案为：＞．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ADF≌△CDH是本题的关键．18．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝60°，∠DCA＝∠DBA，AB＝BC，则△ABC是等边三角形；若，AD＝2，CD＝4，则BD的长为6．【分析】设AC交BD于点F，则∠BAC＝∠BEC﹣∠DBA＝∠BEC﹣∠DCA＝∠CDB＝60°，而AB＝BC，所以△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，在DB上截取DF＝DA，连接AF，则△ADF是等边三角形，所以DF＝AF＝AD＝2，∠FAD＝60°，则∠BAF＝∠CAD＝60°﹣∠CAF，可证明△ABF≌△ACD，得BF＝CD＝4，则BD＝BF+DF＝6，于是得到问题的答案．【解答】解：设AC交BD于点F，∵∠CDB＝60°，∠DCA＝∠DBA，∴∠BAC＝∠BEC﹣∠DBA＝∠BEC﹣∠DCA＝∠CDB＝60°，∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在DB上截取DF＝DA，连接AF，∵∠ADB＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴DF＝AF＝AD＝2，∠FAD＝60°，∴∠BAF＝∠CAD＝60°﹣∠CAF，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴BF＝CD＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，故答案为：等边，6．【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）利用零指数幂，绝对值的性质及算术平方根的定义计算即可；（2）利用算术平方根及立方根的定义计算即可．【解答】解：（1）原式＝1+2023﹣3＝2021；（2）原式＝5﹣3﹣8＝﹣6．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（8分）求下列各式中的x．（1）4x2+2＝66；（2）（x﹣3）3＝﹣125．【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；（2）利用立方根的定义解方程即可．【解答】解：（1）原方程整理得：4x2＝64，即x2＝16，则x＝±4；（2）由原方程可得x﹣3＝﹣5，解得：x＝﹣2．【点评】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．21．（8分）已知2a﹣1为4的算术平方根，2为3b+2的立方根．（1）求a、b的值；（2）求2a+b的平方根．【分析】（1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可；（2）将a，b的值代入2a+b中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案．【解答】解：（1）∵2a﹣1为4的算术平方根，2为3b+2的立方根，∴2a﹣1＝2，3b+2＝8，解得：a＝，b＝2；（2）∵a＝，b＝2，∴2a+b＝3+2＝5，则2a+b的平方根是±．【点评】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．22．（6分）已知点A、F、E、D在同一条直线上，AF＝DE，BE∥CF，BE＝CF．求证：AB∥CD．【分析】根据线段的和差及平行线的性质得出AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，由“SAS”可证△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．【解答】证明：∵AF＝DE，∴AF+EF＝DE+EF，即AE＝DF，∵BE∥CF，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D，∴AB∥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（8分）如图1，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E．（1）求证：AD＝AE；（2）在图1的条件下，如图2，点M、N分别在AB、AC上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的长．【分析】（1）根据角平分线性质得到PD＝PE，利用HL证明Rt△APD≌Rt△APE，根据全等三角形的性质即可得解；（2）利用HL证明Rt△PEN≌Rt△PDM，根据全等三角形的性质得出NE＝MD，根据线段的和差求解即可．【解答】（1）证明：∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE，在Rt△APD和Rt△APE中，，∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），∴AD＝AE；（2）解：在Rt△PEN和Rt△PDM中，，∴Rt△PEN≌Rt△PDM（HL），∴NE＝MD，∵AM＝AD+MD＝5，AD＝AE＝AN+NE＝AN+MD，∴AN+MD+MD＝5，∵AN＝3，∴MD＝1，∴AD＝AM﹣MD＝4．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（8分）请仅用一把有刻度的直尺完成下列图形．（不写画法，保留画图痕迹．如果画图过程中用到有关数据，请先标注适当字母，然后再把数据标注在图形右侧虚线框内，否则不得分．）（1）如图1，已知△ABC是等边三角形，求作点P，使点P到△ABC三边距离相等；（2）如图2，已知△ABC是一般三角形，求作点Q，使点Q到△ABC三边距离相等．【分析】（1）用有刻度的直尺分别取AC的中点E，BC的中点D，连接BE，AD交于P，则P即为所求；（2）用有刻度的直尺在BC上取BF＝AB，在取AF的中点G，同理取CM＝AC，AM的中点H，连接BG，CH交于Q，则Q即为所求．【解答】解：（1）量得AB＝BC＝2.2cm，在AC上取点E，使AE＝1.1cm，在BC上取点D，使BD＝1.1cm，连接BE，AD交于P，则点P即为所求；如图1，（2）量得AB＝2.4cm，在BC上取点F，使BF＝2.4cm，连接AF，量得AF＝1.38cm，在AF上取点G，使AG＝0.69cm，量得AC＝1.8cm，在BC上取点M，使CM＝1.8cm，连接AM，量得AM＝1.42cm，在AM上取点H，使AH＝0.71cm，连接BG，CH交于Q，如图2，则点Q即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及等腰三角形的性质．25．（10分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝12cm，BC＝18cm，点E在边AB上，AE＝4cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上由点D向C点运动，运动时间为ts，两个点有一个点停止运动则全部停止运动．（1）当点Q运动的速度为1cm/s，△PCQ为等腰三角形时，求运动时间t的值；（2）当△BPE与△CQP全等时，点Q运动的速度是多少？【分析】（1）根据题意可知BP＝2tcm，PC＝（18﹣2t）cm，DQ＝tcm，CQ＝（12﹣t）cm，根据△PCQ为等腰三角形列出方程解答即可；（2）分类讨论：①当EB＝PC时，△BPE≌△CQP，②当BP＝PC时，△BEP≌△CQP，进而求出即可．【解答】解：（1）由题意得：BP＝2tcm，PC＝（18﹣2t）cm，DQ＝tcm，CQ＝（12﹣t）cm，∵△PCQ为等腰三角形，∴PC＝CQ，即18﹣2t＝12﹣t，解得t＝6，答：运动时间t的值为6秒；（2）①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，∵AB＝12cm，AE＝4cm，∴BE＝8cm，∴PC＝8cm，∵BC＝18cm，∴BP＝10cm，∴CQ＝10cm，∴DQ＝2cm，∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，∴时间为：10÷2＝5（s），∴△PCQ为等腰三角形时，点Q运动的速度是2÷5＝0.4（cm/s）；②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，∵BC＝18cm，∴BP＝9cm，∴时间为9÷2＝4.5s，∵BE＝CQ＝8cm，∴DQ＝4cm，∴点Q运动的速度是4÷4.5＝（cm/s）；∴当△BPE与△CQP全等时，点Q运动的速度是0.4cm/s或cm/s．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，DE⊥AC，DE所在的直线与AB所在的直线交于点E．（1）若点E在AB上，AB＝10，△BCE的周长为16，求BC的长；（2）若∠A＝n°（0＜n＜180且n≠60），求∠BCE的度数．【分析】（1）根据已知可得DE是AC的垂直平分线，从而利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EC，进而可得EC+BE＝10，然后利用三角形的周长公式进行计算，即可解答；（2）分两种情况：当点E在AB上时；当点E在BA的延长线上时；然后利用等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质进行计算，即可解答．【解答】解：（1）如图：∵点D为AC的中点，DE⊥AC，∴DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵AB＝10，∴AE+BE＝10，∴EC+BE＝10，∵△BCE的周长为16，∴BC＝16﹣10＝6，∴BC的长为6；（2）分两种情况：当点E在AB上时，如图：∵AB＝AC，∠A＝n°，∴∠B＝∠ACB＝＝90°﹣n°；∵点D为A