圆的标准方程

4.1.1圆的标准方程思考？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？

在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.平面内到定点的距离等于定长的点的集合.定点定长圆心半径·rC圆的定义

当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)的距离．xOCM(x,y)y圆的标准方程

已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程.xyOCM(x,y)解：设点M(x,y)为圆C上任一点，P={M

||MC|=r}圆上所有点的集合探究xyOCM(x,y)圆心C(a,b),半径r特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：标准方程

在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C:

，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.探究xyOCM1.点M在圆外，|MC|>r2.点M在圆上，|MC|=r3.点M在圆内，|MC|<r

例1

写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．解:

圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是

把的坐标代入圆的方程，左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代入方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．

例2

的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,-3)，C(2,-8)，求它的外接圆的方程．

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．

解：设所求圆的方程是

因为A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是所以，的外接圆的方程是解此方程组，得结论：在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标可以确定一个圆的方程

例3

已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C在直线上l：x-y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．

分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线上．又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线的交点，半径长等于|CA|或|CB|．

解：因为A(1,1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的坐标，直线AB的斜率BxoyACl即因此线段AB的垂直平分线的方程是

圆心C的坐标是方程组的解．解此方程组，得所以圆心C的坐标是圆心为C的圆的半径长所以，圆心为C的圆的标准方程是小结1.圆的标准方程的结构特点.2.点与圆的位置关系的判定.3.求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②代入法.4.1.2圆的一般方程思考？

1.圆的标准方程展开可得到一个什么式子?2.

方程与都表示的图形是圆吗？解：分别配方得思考？

第一个方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.第二个方程没有实数解，不存在点的坐标（x,y)满足这个方程，它不表示任何图形.

方程在什么条件下表示圆？探究（1）当时，表示圆，（2）当时，表示点（3）当时，不表示任何图形圆的一般方程其中练习判断下列方程是不是表示圆表示以（2，3）为圆心，以3为半径的圆表示点（2，3）不表示任何图形比较圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？圆的一般方程的特点：（1）x2、y2

的系数相同，都不为0．（2）没有形如xy的二次项．圆的一般方程与圆的标准方程各有特点：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．思考？

例1求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为

上述解法用了一般方程，请你比较上节课的标准方程的解法.探究用标准方程解答待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为

例2已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4

上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yABMxo

例2方程表示的图形是一个圆，求a的取值范围.小结1.圆的一般方程的结构特点.2.用配方法化一般方程为标准方程.3.求圆的一般方程的方法：①待定系数法；②代入法.小结：求圆的方程几何方法

求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）

求半径（圆心到圆上一点的距离）

写出圆的标准方程待定系数法列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）作业P123练习：1，2，3.P124习题4.1A组：1，2，3，44.2直线、圆的位置关系主要内容4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用4.2.1直线与圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系问题

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？O

为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10km为单位长度．港口轮船

这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为轮船航线所在直线l的方程为问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．O港口轮船想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；d<r（2）直线与圆相切，只有一个公共点；d=r（3）直线与圆相离，没有公共点．d>r

分析：方法一代数法：判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二几何法：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．解法一：由直线l与圆的方程，得

例1

如下图，已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．①②因为=1>0所以，直线l与圆相交，有两个公共点．

解法二：圆可化为其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C

（0，1）到直线l的距离代入②消去y，得由①得③由，解得所以，直线l与圆相交，有两个公共点．所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是把代入方程①，得；把代入方程①，得．

A（2，0）,B（1，3）判断直线与圆的位置关系常用几何法（方法二），但如果求交点坐标就最好用代数方法（方法一）了解：将圆的方程写成标准形式，得如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为

例2已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．即圆心到所求直线的距离为因为直线l过点，所以可设所求直线l

的方程为即根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l

的距离因此即两边平方，并整理得到解得所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为或即直线方程化为一般式

1.设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2上一点，如何求过点M的圆的切线方程？Mxoyx0x+y0y=r2思考题

2.设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一点，如何求过点M的圆的切线方程？Mxoy思考题小结1.直线和圆的位置关系的判断2.会求弦长和圆的切线代数法几何法圆心到直线的距离和半径的关系解直线和圆方程联立的方程组判断直线和圆的位置关系几何方法求圆心坐标及半径r（配方法）

圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）代数方法

消去y（或x