第四章大数定律和中心极限定理

第四章大数定律和中心极限定理第一页，共三十页，编辑于2023年，星期五一.切比雪夫不等式

若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等价的形式：§1大数定率第二页，共三十页，编辑于2023年，星期五例已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式令第三页，共三十页，编辑于2023年，星期五

一.依概率收敛设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给>0,使得则称{Xn}依概率收敛于X.可记为第四页，共三十页，编辑于2023年，星期五如意思是:当a时,Xn落在内的概率越来越大.而意思是:,当第五页，共三十页，编辑于2023年，星期五二.几个常用的大数定律1.切比雪夫大数定律

设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则即若任给>0,使得第六页，共三十页，编辑于2023年，星期五证明:由切比雪夫不等式这里故第七页，共三十页，编辑于2023年，星期五2.贝努利大数定律

设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理第八页，共三十页，编辑于2023年，星期五3.辛钦大数定律

若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,EXk=<,k=1,2,…则推论:若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,E(X1k)=<,则第九页，共三十页，编辑于2023年，星期五

§2中心极限定理

一.依分布收敛

设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有则称{Xn}依分布收敛于X.可记为第十页，共三十页，编辑于2023年，星期五二.几个常用的中心极限定理1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,则{Xn}满足中心极限定理。根据上述定理，当n充分大时第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期五例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解:设 Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布.由中心极限定理第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期五设随机变量n(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace)证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由中心极限定理,结论得证第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期五第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期五

例2

在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：

(1)保险公司亏本的概率有多大？

(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期五解:设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理(1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0}=1P{X120}1

(7.75)=0;第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期五P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000}=P{X60000/a}0.9;（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期五例3

根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期五由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)

=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期五例4.(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期五用X表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作概率为0.6，共进行200次试验.依题意，X~B(200,0.6),现在的问题是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求满足设需N台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期五

由德莫佛-拉普拉斯极限定理近似N(0,1),于是

P(X≤N)=P(0≤X≤N)这里

np=120,np(1-p)=48由3σ准则，此项为0。第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期五查正态分布函数表得由≥0.999，从中解得N≥141.5,即所求N=142.

也就是说,应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.≥3.1,故第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期五例5

在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.问对序列{Xk},能否应用大数定律？

诸Xk

独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.解:

k=1,2,…E(Xk)=0.1,

(1)设，k=1,2,…第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期五

即对任意的ε>0,解:

k=1,2,…E(Xk)=0.1,

诸Xk

独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期五(2)至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?解：设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理近似N(0,1)第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期五近似N(0,1)第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期五欲使即查表得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期五(3)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.解：在