第六节空间直角坐标系

第六节空间直角坐标系第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五空间中点的坐标

如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系，写出长方体各顶点的坐标．第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五分析

解答本题可根据长方体的特征，建立适当的空间直角坐标系，然后对特殊点，可直接写出坐标，对于非特殊点，可找出它在xOy平面上的射影以确定其横、纵坐标，再找出它在z轴上的射影以确定其竖坐标．第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五解

如图所示，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5.∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1的坐标为(3,5,4)．第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五规律总结

(1)建立空间直角坐标系时，应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五变式训练1右图为一个正方体截下的一角P－ABC，|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如图坐标系，则△ABC的重心G的坐标为________．【解析】

【答案】

第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五空间点的对称问题

求点A(1,2，－1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B、C的坐标，以及B、C两点间的距离．第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五分析

通过点A向x轴及平面xOy作垂线，然后再写坐标．第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五解

过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使NB＝AN，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)．过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使CM＝AM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)．∴A(1,2，－1)关于x轴的对称点为B(1，－2,1)，A(1,2，－1)关于坐标平面xOy的对称点为C(1,2,1)，第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五

规律总结

(1)关于哪条轴对称，则哪个坐标不变；另两个坐标变为原来坐标的相反数；(2)关于原点对称，三个坐标都变为原坐标的相反数．第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五变式训练２

在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,5,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为(

)A．(4,0,6)B．(－4,5，－6)C．(－4,0，－6)D．(－4,5,0)第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五【答案】

C【解析】

点关于y轴的对称点应该是x、z坐标与原坐标互为相反数，y坐标不变，点在平面xOz上的射影应该是x、z坐标不变，y坐标变为0.第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五空间两点间的距离公式的简单应用(12分)如图所示，已知点A(1,1,0)，对于z轴正半轴上任意一点P，在y轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由．第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五分析

假设存在满足题设条件的点．依据PA⊥AB，得到PA2＋AB2＝PB2；再由两点间距离公式，得关于待求量的方程；解方程，若有解，则存在，若无解，则不存在．第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五解

设P(0,0，c)，B(0，b,0)，对于z轴正半轴上任意一点P，假设在y轴上存在一点B，使得PA⊥AB恒成立，则|PA|2＋|AB|2＝|PB|2，……3分∴[(0－1)2＋(0－1)2＋(c－0)2]＋[(1－0)2＋(1－b)2＋(0－0)2]＝(0－0)2＋(0－b)2＋(c－0)2，………6分即3＋(b－1)2＝b2，…………………8分解得b＝2，…………10分∴存在这样的点B，当点B坐标为(0,2,0)时，PA⊥AB恒成立…………………12分第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五规律总结

在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题．此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹．其核心就是利用两点间的距离公式，建立等量关系或方程．第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五

变式训练３已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五【解析】∵|BC|>|AB|，∴若A，B，C三点共线，有|BC|＝|AC|＋|AB|或|AC|＝|BC|＋|AB|，若|BC|＝|AC|＋|AB|，整理得5a2＋18a＋19＝0，此方程无解；若|AC|＝|BC|＋|AB|，整理得5a2＋18a＋19＝0，此方程无解．∴不存在实数a，使A、B、C共线．

第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五1．空间直角坐标系(右手直角坐标系)(1)右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指．(2)已知点的坐标P(x，y，z)作点的方法与步骤：沿x轴正方向(x>0时)或负方向(x<0时)移动|x|个单位，再沿y轴正方向(y>0时)或负方向(y<0时)移动|y|个单位，最后沿z轴正方向(z>0时)或负方向(z<0时)移动|z|个单位，即可作出点．(3)已知点的位置求坐标的方法：过点P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a，b，c，则(a，b，c)就是点P的坐标．第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五2．一些特殊点的坐标表示在x，y，z轴上的点分别可以表示为(a,0,0)，(0，b,0)，(0,0，c)．在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为(a，b,0)，(a,0，c)，(0，b，c)．第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五3．关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标的关系点P(a，b，c)关于x轴的对称点的坐标为(a，－b，－c)；点P(a，b，c)关于y轴的对称点的坐标为(－a，b，－c)；点P(a，b，c)关于z轴的对称点的坐标为(－a，－b，c)；点P(a，b，c)关于坐标平面xOy的对称点为(a，b，－c)；点P(a，b，c)关于坐标平面xOz的对称点为(a，－b，c)；点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为(－a，b，c)；点P(a，b，c)关于原点的对称点(－a，－b，－c)．第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五4．中点坐标公式已知空间两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则线段PQ的中点坐标为.5．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直．(2)判断空间三点是否共线．(3)得到一些简单的空间轨迹方程．第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五已知点A(－3，－1,1)，点B(－2,2,3)，在x、y、z轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离．第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五错解

设L点的坐标为(x，y，z)，由题意得LA＝LB.由两点间的距离公式得：(x＋3)2＋(y＋1)2＋(z－1)2＝(x＋2)2＋(y－2)2＋(z－3)2，即x＋3y＋2z－3＝0，有无数解，故L有无数个位置，同理M、N也有无数个位置．第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五错解分析

对于坐标轴上点的坐标特征不明确，没有充分利用坐标轴上点的特征．事实上，设x轴上的点L的坐标为(x,0,0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值．类似可求得点M、N的坐标．第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五正解

设L、M、N的坐标分别为(x,0,0)、(0，y,0)、(0,0，z)．由题意，得：(x＋3)2＋1＋1