第四章多元线性回归

第四章多元线性回归第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五4.1多元线性回归模型

一、多元回归模型与回归方程二、估计的多元回归方程三、参数的最小二乘估计第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一、多元回归模型与回归方程1.多元回归模型(multipleregressionmodel)称为多元线性回归模型1.多元线性回归模型包含一个因变量与两个或两个以上自变量.2.误差项ε为随机变量3.为模型的参数，称偏回归系数.(4.1)第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五多元线性回归模型误差项ε的基本假定

1.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E()=0.2.误差项ε的方差都相等，即

3.误差项服从正态分布，即第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五2.多元回归方程(multipleregressionequation)称(4.2)为总体多元线性回归方程.表示当其他变量不变，而每变动一个单位时，E(y)相应的变动值.第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五多元线性回归方程的直观解释

1.表示保持不变时，每变动一个单位时的相应变化量.

2.表示保持不变时，每变动一个单位时的相应变化量.考虑二元线性回归模型第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五二、估计的多元回归的方程

是未知参数，可以根据样本数据作估计.记的估计为，则称为估计的多元回归方程(estimatedmultipleregressionequation)或样本多元回归方程.第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五三、参数的最小二乘估计

使因变量的观察值y

与估计值之间的离差平方和达到最小来求，即使达到最小.称为的最小二乘估计.第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五续根据微积分中求极值的原理，应是下列正规方程组的解第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五例4.1

一家大型商业银行在多个地区设有分行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据(表1).试建立不良贷款(y)与贷款余额(x1)、累计应收贷款(x2)、贷款项目个数(x3)

和固定资产投资额(x4)

的线性回归方程，并解释各回归系数的含义.

解：得不良贷款(y)与贷款余额(x1)、累计应收贷款(x2)、贷款项目个数(x3)和固定资产投资额(x4)

的线性回归方程如下第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五表1某商业银行2002年的有关业务数据第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五4.2回归方程的拟合优度

一、多重判定系数二、估计标准误差第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一、多重判定系数(multiplecoefficientofdetermination)

对多元回归同样可分解成如下形式则多重判定系数为第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五续

多重判定系数反映样本回归方程的拟合好坏程度，R２愈大，说明样本回归方程拟合得愈好。显然，.而称y

关于的样本复相关系数，R

的大小可以反映作为一个整体的与y

的线性相关的密切程度.第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五修正多重判定系数(adjustedmultiplecoefficientofdetermination)

由于样本多重判定系数的分母SST

对给定的样本数据是不变的，而SSR

与引进回归方程的自变量个数有关.因此，应对R２作调整，调整的样本多重判定系数为(4.3)第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五例

根据1的数据，计算多重判定系数.

解：根据(7)式，得而根据(4.4)式，则第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五二、估计标准误差(standarderrorofestimate)

误差项的标准差的估计称为估计标准误差，或称为估计量的标准差.1的数据，得(4.4)第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期五3显著性检验

一、线性关系检验二、回归系数检验和推断第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期五一、线性关系检验线性关系检验，即回归方程的显著性检验，具体步骤为

1.提出原假设和备择假设

３对规定的显著性水平，若则拒绝，认为y

对存在线性关系，称回归方程显著.否则，认为y

对之间不存在线性关系，称回归方程不显著.

2.计算检验统计量至少有一个不为0第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期五方差分析表

前面的这些计算结果可以列成表格的形式，称为方差分析表.

方差分析表方差来源平方和自由度均方F

值回归SSRpSSR/p残差SSEn-p-1SSE/(n-p-1)总和SSTn-1－第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

根据例1建立的回归方程，检验线性关系的显著性.

解：提出假设根据(4.3)式查F分布表得，从而拒绝原假设.至少有一个不为0第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期五二、回归系数检验和推断

1.当回归方程显著时，仅表示中至少有一个不为0，即并不表示每一个自变量对因变量的影响一定都是显著的.

2.回归系数的显著性则是对每一个自变量都要检验，从而确定每一个自变量对因变量的影响是否显著.

3.采用t

检验

4.对于多元线性回归，回归系数的显著性检验与回归方程的显著性检验是两种不同的检验方法.第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期五回归系数的显著性检验步骤

1.提出原假设和备择假设

2.计算检验统计量其中而是角线上第个元素.(4.5)第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期五续

3.对规定的显著性水平，若则拒绝，称对y

的影响显著，即认为.否则，接受，称对y

的影响不显著，即认为.第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期五

根据例4.1建立的回归方程，检验每一个自变量对因变量的影响是否显著.

解：根据表4-1，得查t

分布表得

从而只有对因变量的影响显著.并可得的0.95置信区间第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期五回归系数的置信区间

当回归系数通过检验后，还可以给出回归系数的置信区间.

的的置信区间为根据例4.1，并可得的0.95置信区间(4.7)第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期五如何才能缩小置信区间？

增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的