第六节函数的连续性和连续函数

第六节函数的连续性和连续函数1第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

例1

证明函数y=x2在给定点x0处连续。

证

在x0处，函数的改变量为所以y=x2在给定点x0处连续。2、函数在一点处连续的定义第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五下面给出函数连续的定义的另一种等价形式。第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例2证第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五定理3.单侧连续第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例3解即不右连续也不左连续,x

y-11O第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例4解第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五二、连续函数第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例5证第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五三、连续函数的运算和初等函数的连续性定理1例如,1、连续函数的四则运算法则三角函数在其定义域内皆连续.第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期五定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数的连续性第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五定理33、复合函数的连续性极限运算与函数运算可以交换第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五4、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★均在其定义域内连续.第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数在其定义域内都是连续的.也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

利用函数的连续性可以计算一些极限.

初等函数求极限的方法：代入法.例6例7解解第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例8解极限运算与函数运算可以交换第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例9解类似可得第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例10解前面已证第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五常用等价无穷小:第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五等价代换原理：证只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意在加、减的极限运算中不能替换！第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例11解第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例12解解错第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例13解第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例14解例15解第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值.1、有界性与最大值最小值定理四、闭区间上的连续函数记作第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五2、介值定理与零点定理推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五几何解释:MBCAmab第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五几何解释:定义第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例16证由零点定理,第三十页，共三十二页，编辑于2023年