高中数学-【课堂实录】二元一次不等式（组）与平面区域教学设计学情分析教材分析课后反思

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（一）教学设计【教学目标】1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）产生的实际背景，会用平面区域表示二元一次不等式组的解集；2．过程与方法：初步经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力，体验类比、归纳等推理方式探究新知识，强化数形结合的意识；3．情感态度与价值观：体会数学源于生活、用于生活的特点，激发学生的探索欲望，采用问题引导的探究模式，让学生体验思考并解决问题的愉快。【教学重点】二元一次不等式（组）表示平面区域。【教学难点】二元一次不等式（组）表示平面区域的探究过程。【教学过程】一、实例导入：1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型。一家银行的信贷部计划年初投入（不多于）2500万元用于企业和个人贷款，希望这贷款可带来（至少）3万元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%.那么，信贷部应如何分配资金呢？设企业贷款为x万元，个人贷款为y万元由已知得2．从中引出概念：二元一次不等式和二元一次不等式组及解集。（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。设计意图：从实际问题中抽象出了二元一次不等式（组），让学生体验数学来源于生活，又用于生活的特点，激发学生的探索欲望。由文字语言转化到符号语言，建立起二元一次不等式的概念，使学生经历、体验从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，从而引出今天要研究的对象。二、探究发现：问题1：二元一次不等式（组）的解集可以用什么图形表示？二元一次不等式（组）的解集是由有序实数对组成的集合，而有序实数对是与平面直角坐标系内的点是一一对应的，所以二元一次不等式（组）的解集可以用平面直角坐标系内的一个区域来表示。问题2：二元一次不等式x-y<6的解集表示怎样的平面区域？在平面直角坐标系内，x-y-6=0表示一条直线。满足不等式的点一定在直线外。联系旧知，先画出直线，再取几个满足不等式的特殊点并在图中标出位置，然后通过观察、大胆猜想出：不等式表示的是直线一侧的平面区域，最后给出严谨的证明得出新知。思维引导明了清晰。引导学生发现结论：在平面直角坐标系中，二元一次不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；直线x-y=6叫做这两个区域的边界，因为直线上的点不满足不等式，所以边界应画成虚线。由特殊例子推广到一般情况，可得结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）。问题3：怎样快速判断二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域？特殊点检验形成新知：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C≥(>)0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成实(虚)线，以表示区域(不)包括边界。通常在直线一侧取某个特殊点（x0,y0），由Ax0+By0+C的符号判断不等式表示的是直线哪一侧的平面区域。设计意图：本部分是本课的重点内容，做好以下几点：一、设好问题的梯度，逐步引领学生探索问题，充分调动学生思维，培养学生的逻辑思维能力；二、利用好课件对所有点进行分析，提升学生对二元一次不等式所表示的平面区域的理解；三、留足够的时间给学生思考，让知识内化，深入理解。以问题串的形式充分发挥学生的自主性和作为教学主体的主动性,培养学生自己解决问题的能力。三、新知应用：例1．画出不等式x+4y<4表示的平面区域。解：先画直线x+4y-4=0，因为直线上的点不满足不等式所以要画成虚线.(教师板演，展示规范作图步骤)取原点（0,0），代入代数式x+4y-4所得符号小于零，满足不等式，所以原点在不等式表示的平面区域内，如阴影部分所示。教师规矩地板演，给学生以示范的作用。对于直线x+4y-4=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入代数式x+4y-4，所得到数值的符号都相同。引导学生发现所以只需在此直线外任取一特殊点代入代数式x+4y-4，从它的正负即可判断要找的平面区域是含该点的区域还是不含该点的区域。变式1、（1）y<-3x+12;(2)x<2y找两个学生板书，教师点评、展示正确答案。完成例1后，紧跟变式让学生动手操作，然后思考总结画二元一次不等式表示的平面区域的一般方法和注意事项：(1)直线定界，注意虚实；(2)特殊点定域，当C≠0时，取原点作测试点，当C=0时，取（1,0）或（0,1）作测试点。例2．用平面区域表示不等式组的解集。解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。变式2（回扣引例）试用本节所学知识解决本节开篇贷款分配问题所列的不等式组表示的平面区域。完成变式2后引导学生总结二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.创意栏目：说“错”有奖—总结说出自己前面做题中出现的错误。通过小组讨论，互相交流，自查自省，达到共同提升的目的设计意图：通过例题+变式+小结的形式，进一步理解和巩固所学的判断方法，掌握画出二元一次不等式（组）表示的区域的判断方法。由二元一次不等式到不等式组的设计，由浅入深，由易到难，便于学生的接受。四、课时小结：本节课我们学到了什么知识？探索过程中用了哪些数学方法？1．结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。2．画二元一次不等式表示的平面区域的一般方法和注意事项：（1）直线定界，注意虚实；（2）特殊点定域，当C≠0时，取原点作测试点，当C=0时，取（1,0）或（0,1）作测试点。3．二元一次不等式（组）的解集表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分。设计意图：由学生小结得出知识点，培养学生反思及归纳能力；教师引导学生领悟思想方法，让学生养成良好的思维习惯。五、作业布置作业分基础、能力两部分，以满足不同层次学生的需求【板书设计】学生板演1（1）课题例一文字部分例一图结：线定界，点定域学生板演1（2）【学情分析】本节课是在学生学习了一元二次不等式及解法的基础上学习的另一种不等关系的模型。本班作为的普通班，学生的数学基础薄弱，差异较大，故采用循序渐进，螺旋上升的方式，分两课时来学习本节内容。本节课作为起始课，是后面线性规划的基础，学生的认知困难我认为有以下两个方面：（1）学生对二元一次不等式（组）初次接触，很难想到平面区域这种几何表示。（2）对于具体的二元一次不等式，学生很难设计出探究层次所以设计务必得贴近学生、符合学生。本节通过实例一步步引出用出用平面区域表示二元一次不等式(组)的方法,在这个过程中,最重要的是数形结合思想和“解析法”的渗透,这是学生不太熟悉的,因此,采取启发、探究结合的教学方法,学生采用小组协作的学习方法。通过本节内容的学习，既可以培养学生的自主探索能力和抽象思维能力，又使学生熟练掌握数形转化思想，寓新于旧，整节课以问题串的形式、层层深入，激发学生探究数学、应用数学的潜能，并为他们自主研究后面涉及到的线性规划作铺垫，这充分体现了“和谐高效，思维对话”的精髓。

【效果分析】课堂效果首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，“二元一次不等式（组）与平面区域”在不等式、直线方程后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是图解法解决线性规划的基础；同时，在探求问题的过程中可以培养学生数形结合、等价转化等数学思想方法。

本课从教材实际情境引入，通过对实际情境分析，从现实生活中抽象出所要研究的数学模型，引出二元一次不等式（组）的相关概念，让学生体验数学问题是客观存在，来源于生活又服务于生活。1.在探究中，注重探究过程。通过师生互动，教师步步追问，让所有问题成为一个整体的问题串，使得学生的思维具有整体性、系统性。特别是在教师的引导追问下，学生主动探究，小组合作，通过猜想、验证，从特殊到一般，归纳得出结论。之后，通过例题、练习进行运用、理解，巩固。最后师生共同反思小结，对所学内容进行概括，并对探究过程中的数学方法进行研究，对课堂知识进行了升华。这样的教学设计既体现了本课数学内容的生成过程，又与学生的认知过程相吻合，充分体现了课改的基本理念。2.在探究中，注重探究方法的运用。从实际生活中建立数学模型，然后从学生熟知的一元一次不等式组所表示的解集出发，引发二元一次不等式的类比探究。同时从方程组的思想到不等式组的思想，单个突破，寻求二元一次不等式解集所表示的平面区域。在直角坐标系中，直线将平面分为三部分，其中分类讨论以不等式的解为坐标的点与直线的位置关系。在证明过程中利用转化的思想，学生得出特殊结论，再转化为一般性结论，达到完成探究目的。3.在探究中，注重探究手段。通过PPT的演示，让学生更加直观，使信息技术成为学生实验、探究、操作的工具，引导学生通过技术，发现数学、建立数学。教师能把传统教学中的“板书、板演、对答、展示等”行之有效的教学方法与现代信息技术等有机结合，发挥两者的最佳效益，又避免两者的不足。课堂教学实践表明，课堂教学效果是好的。

【教材分析】1．教材的地位和作用

《二元一次不等式（组）与平面区域》是人教A版必修5第三章不等式的一节内容。本节内容是本章重点研究的第二种数学模型；是学好线性规划问题的基础；也是培养学生推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。本节教材的编写注重从实际背景中抽象出二元一次不等式（组）这一数学模型，使学生感受到数学源于生活，激发学生的探究欲望，发展学生的观察、归纳、概括能力。

2.内容剖析教科书在第3.3.1节探求二元一次不等式所表示的平面区域时，先后以思考猜想和探究的方式提出问题，从研究具体不等式的解集所表示的平面区域入手，讨论直线的某一侧点的坐标与不等式的关系，由此推广到一般的二元一次不等式表示的平面区域，并得到了二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集的结论。3.教学目标设计1）初步体会从实际情景中抽象出二元一次方程组，进而变为二元一次不等式组的过程，了解二元一次不等式(组)表示的平面区域的概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。2）综合运用以旧引新、数形结合、类比、特殊到一般等多种方式探究二元一次不等式(组)表示的平面区域，为下一节课解决实际问题积累方法与经验。3）通过学生自主探究，培养独立思考能力，学会合作意识；体会数形结合思想，类比、由特殊到一般的分析方法，提高学生解决复杂问题的能力。4.教学重点二元一次不等式(组)表示的平面区域。5.教学难点二元一次不等式（组）表示的平面区域的推导。6.课时安排，根据本节课的内容和大纲的要求。“安排两课时，第一课时侧重概念的引入和简单的应用；第二课时侧重实际应用。本节内容为第一课时。

【评测练习】当堂讲练：例1画出不等式x+4y<4表示的平面区域.变式训练：分别画出下列不等式所表示的平面区域：（1）y>-3x+12;(2)x≥2y.例2.用平面的区域表示不等式组的解集.变式训练：试用本节所学知识解决本节开篇贷款分配问题所列的不等式组表示的平面区域基础练习：不等式表示的区域在直线的（）A、右上方B、右下方C、左上方D、左下方2、不等式表示的平面区域是（）3、不等式组表示的平面区域（）4、一个小型家具厂计划生产A型和B型两种型号的桌子。每种类型桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序。A型桌子需要10min打磨，6min着色，6min上漆；B型桌子需要5min打磨，12min着色，9min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min,着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域。三．能力提升：1.画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0表示的平面区域。2.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0和2x+y+1=0围成的三角形区域(包括边界）用不等式可表示为3.试编一个应用题，使之可用不等式组来刻画，并画出其表示的平面区域【课后反思

】

这节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，经历探索求二元一次不等式(组）表示平面区域，并培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，从而使他们①能准确表示二元一次不等式的平面区域；②能正确地找出二元一次不等式组的公共部分。1.本节课充分发挥教师的主导作用和学生的主体性，使教师在课堂上通过与学生之间的思维对话，不断开发学生潜能，广泛地让学生主动参与。在教学过程中,自始至终让学生唱主角,使学生变被动学习为主动学习,让学生成为学习的主人,教师成为学习的领路人。,2.这节课让学生从实例出发,思维一步步的很自然的引到今天的重点上。在教学中培养学生从特殊到一般的能力及归纳总结的能力。让学生通过自主探索，亲身经历了“情境引入”——“提出问题”——“归纳猜想”——“推理探究”——“解决问题”——“反思总结”的思维方式，让学生在这过程中感受数学的逻辑和严谨，使学生成为的“发现者”和“推导者”，切身感受到学习的乐趣，身心都得到了发展.。3.在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法,让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要,部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、

思考问题。4.在探究过程中有的学生还没有积极地参与进来,思维还没有跟上,如何让学生更有兴趣或者所给的问题更能接近学生的最近发展区,让所有的学生都能积极的参与进来,是我要努力的。

总体来讲，在教授中我深刻的体会到新教材与以往的不同，新教材以学生为本的教学理念始终贯穿本课。采用的将上课的主权交给学生，新颖、有效。而学生的学习积极性有很大的提高，学习效果好。原本枯燥的、抽象的纯数学的东西通过与实际联系，利用数形结合，变的有趣、易懂。不但促使学生掌握了课本上的知识，还促使学生加强了对日常事物的观察分析的能力。真正使教学提高到培养学生能力的层面上来了。但是这对教师自身素质的要求大大提高。只有自己不断的学习，充实自己，才能把新教材教好。

【课标分析】课程标准对本节的具体要求：1.了解从