北京南口机车车辆机械厂职工子弟中学2022年高三数学文联考试卷含解析

北京南口机车车辆机械厂职工子弟中学2022年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥中，平面且是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面，积为(

)A．

B．4π

C.8π

D．20π参考答案：C根据已知中底面△ABC是边长为的正三角形，，PA⊥平面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球

∵△ABC是边长为的正三角形，∴△ABC的外接圆半径球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1.故球的半径故三棱锥P-ABC外接球的表面积.故选：C．

2.由曲线y=，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.

B．4

C.

D．6参考答案：C3.函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为A．8

B．9

C．16

D．17参考答案：D略4.设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：【知识点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．B4B9C

解析：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点

当x＞0时，令f（x）=ex+x-3=0，则ex=-x+3，

分别画出函数y=ex，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，

又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．

综上所述，f（x）的零点个数为3个，故选C．【思路点拨】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．5.在等比数列中，若是方程的两根，则的值是A．

B．

C．

D．

参考答案：C6.若P(2，-l)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略7.若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)A．11

B．9

C．7

D．5参考答案：D由三视图知，该几何体如图，它可分成一个三棱锥E－ABD，和一个棱锥B－CDEF，尺寸见三视图，.故选D.

9.已知函数内是减函数，则（

） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1参考答案：B略10.动点在函数的图象上移动，动点满足，则动点的轨迹方程为A．

B．C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足约束条件则的最小值为

．参考答案：－2由x，y满足约束条件,作出可行域如图:联立，解得B（0，1）．化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：0﹣2×1=﹣2．故答案为：﹣2．

12.如图，在边长为2的菱形ABCD中，E为CD中点，则

、参考答案：1试题分析：将表示为，然后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解．在菱形ABCD中，，所以三角形ABD是正三角形，从而故答案为1．考点：平面向量的数量积．13.二项式展开式中的常数项是

（用数字做答）．参考答案：2814.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为__________m3．参考答案：4略15.在集合A=中任取一点P，则点P恰好取自曲线与坐标轴围成的区域内的概率为____________．参考答案：16.若变量满足线性约束条件，则的最大值为_____．参考答案：17.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．参考答案：60【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）已知，函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）当时，，，所以，.………………2分因此．即曲线在点处的切线斜率为.…………4分又，所以曲线在点处的切线方程为，即．……………6分（Ⅱ）因为，所以．令，得．……………8分①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．②若，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值．………………10分③若，则当时，，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值．…………………12分综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．……………13分19.已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导，求得f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得a的取值范围；（Ⅱ）（i）求导h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=lnx﹣ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，则只需证明lnt＞，t＞1，构造辅助函数，根据函数的单调性，求得g（t）＞g（1）=0，即可证明lnt＞，成立，则x1?x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．…6分令切点A（x0，lnx0），则k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；

…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g（）=ln﹣1，…6分又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分综上所述，0＜a＜；

…8分（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1?x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，…10分设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所证不等式x1?x2＞e2成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．20.已知点F是抛物线:的焦点，点到F的距离为2.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB与曲线相交于A,B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为，求b的值.（Ⅲ）抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的

切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）准线：，依抛物线定义可知，，所以抛物线为----3分（Ⅱ）由，所以的中点为，所以AB的中垂线为依题意可知在垂线上，所以----------------------------------7分(2)由（Ⅱ）,假设抛物线上存在异于点、的点，满足题意令圆的圆心为，则由得得，（或者用中垂线交点求出圆心坐标）------10分因为抛物线在点处的切线斜率，--------------------------11分又该切线与垂直，所以所以因为，所以.故存在点且坐标为.--------------------------------------13分略21.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点，(1)证明：;(2)当时，求平面把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比。参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】(1)在中，利用勾股定，得,再在直三棱柱中，,证得平面,利用线面垂直的性质，即可得到；（2）求得四棱锥和直三棱柱的体积，即可求解.【详解】(1)在中，因为，所以，所以,又在直三棱柱中，,所以平面,又因为平面,所以.（2）设，则，所以,,因为，所