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文档简介

是定义在区域D上的复变函数序列，则称表达式4.2复变函数项级数定义4.2.1复变函数项级数设为复变函数项级数（简称复函数项级数）.该级数前n称为级数的部分和.1定义4.2.2如果对于D内某点，数项级数收敛，则称点为的一个收敛点，若级数在区域D内的每一点都收敛，则称该级数在D内收敛;收敛点的集合称为的收敛域.若级数发散，则称点为级数的发散点，发散点的集合称为的发散域.23幂级数概念4如果令，那么(4.3.1)成为，这即为(4.3.2)的形式.为了方便，今后就以(4.3.2)函数项级数来进行讨论.56因而存在正数M，使对所有的n有如果，那么，而7从而根据正项级数的比较法知

收敛，故级数是绝对收敛的.8另一部分命题用反证法证明.910(2)对所有的正实数除外都是发散的.这时，级数在复平面内除原点外处处发散；对所有的正实数都是收敛的.这时，根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛；11(3)既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数发散的正实数.设(正实数)时级数收敛，(正实数)时级数发散，那么在以原点为中心，为半径的圆周内，级数绝对收敛；为半径的圆周外，级数发散.显然只能，否则级数必发散，如图4.1所示。在以原点为中心,1213定义4.3.2收敛圆收敛半径144.3.3收敛半径的求法对于幂级数，我们主要关心的是它的收敛问题，即收敛域是怎样的以及如何求收敛域.下面我们借助正项级数的比值法来讨论这个问题.15证明:1617181920在收敛圆上，由于收敛，所以原级数在收敛圆上处处收敛.21当时，级数为，它是交错级数，根据莱布尼兹判别法知级数收敛；当时，级数为，它是调和级数，故发散.22定理4.3.3幂级数的性质：23更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.24收敛半径为R=|b-a|[解]把函数写成如下形式:25Oxyab当|z-a|<|b-a|=R时级数收敛2627但级数的收敛半径28但应注意，使等式成立的收敛圆域仍应为，不能扩大.29(ii)幂级数在其收敛圆内可逐项求导或逐项积分，即

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