2019英语同步人教必修4刷题首选卷（基础练+能力练）

1.1平面直角坐标系与曲线方程

12平面直角坐标轴中的伸缩变换

1.平面直角坐标系与点的坐标

在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的国有序实数对(x,y)与之

对应；反之，对于任意的0—个有序实数对(无，y),都有唯一的点与之对应.即

在平面直角坐标系中，但点和直有序实数对是一一对应的.

2.平面直角坐标系中曲线与方程的关系

曲线可看作是©满足某些条件的点的集合或轨迹,在平面直角坐标系中，如

果某曲线C上的点与一个二元方程/U，y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线C上的四点的坐标都是方程取,y)=0的CZ解;

(2)以方程/U，＞)=0的®解为坐标的点都在曲线。上.

那么，方程凡r,y)=0叫做曲线。的方程，曲线。叫做方程_/U，＞)=0的曲

线.

3.平面直角坐标轴中的伸缩变换

在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即一改变x轴或y轴的单位长度,将会

对图形产生影响.

自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.()

(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是---对应的.()

(3)方程2/+丁=1表示的曲线是圆.()

(4)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的多圆

=4的图形变为椭圆.()

(5)在伸缩变换下，直线依然是直线.()

答案⑴J(2)7(3)X(4)7(5)7

2.做一做

(1)已知%3CD中三个顶点A,B,C的坐标分别是(一1,2),(3,0),(5,1),

则顶点D的坐标是()

A.(9,-1)B.(-3,1)

C.(1,3)D.(2,2)

答案C

(2)方程(》2—4)2+(丁-4)2=0表示的图形是()

A.两条直线B.四条直线

C.两个点D.四个点

答案D

(3)将一个圆作伸缩变换后所得的图形不可能是()

A.椭圆B.比原来大的圆

C.比原来小的圆D.双曲线

答案D

解析由伸缩变换的意义可得，A,B,C均有可能，D不可能.

探究1利用平面直角坐标系确定位置

例1由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴

某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰

在乙舰北偏西30。，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、

丙两舰比甲舰距商船远，因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的

传播速度为lkm/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？

解设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，

以直线45为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,

0）,B（—3,0）,C（-5,2®

'：\PB\=\PC\,

...点P在线段BC的垂直平分线上.

kBc=一事,线段BC的中点。（一4,小），

...直线的方程为y—小=+（九+4）.①

又|PB|一照|=4,

...点P在以A,8为焦点的双曲线的右支上，

双曲线方程为，■一5=1（x22）.②

联立①②，解得P点坐标为（8,5®

kpA=•

因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.

1.解决本例的关键是如何建系，将几何位置量化，然后根据直线与双曲线的

方程求解.

2.建立坐标系的几个基本原则：（1）尽量把点和线段放在坐标轴上；（2）对称

中心一般放在原点；（3）对称轴一般作为坐标轴.

3.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系一设点一列关系式（或方程）一求解

数学结果一回答实际问题.

【跟踪训练1]已知某荒漠上有两个定点A,B,它们相距2km,现准备在

荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，

围墙总长为8km.

（1）问农艺园的最大面积能达到多少？

（2）该荒漠上有一条水沟/恰好经过点A,且与成30。的角，现要对整条水

沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农

艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长?

解⑴设平行四边形的另两个顶点为C,。，由围墙总长为8km,#|C?l|+|CB|

=4>\AB\=2,

由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A,B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2

的椭圆(去除落在直线AB上的两点).

以A8所在直线为x轴，线段A3的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C

22

的轨迹方程为,+1=1(户0).

易知点。也在此椭圆上，要使平行四边形ABC。的面积最大，则C,。为此

椭圆短轴的端点,

此时，面积5=2小(kn?).

fV2

(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆亍+上=l(yW0)内，故暂不需要加固水

沟的长就是直线/：y=^(x+l)被椭圆截得的弦长，如图.

y哮x+1),

因此，由"137+8x—32=0,

=1

那么弦长=y[T+l?\xi—对

8,入3248

XTT—4XU，

故暂不加固的部分长程48km.

探究2平面直角坐标系中曲线方程的确定

例2(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为坐，且G

上一点到G的两个焦点的距离之和为12,求椭圆G的方程;

⑵在边长为2的正三角形ABC中，若P为△A3C内一点，且照|2=|PB|2+

|PC|2,求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.

解(1)由已知设椭圆方程为

.+$=l(a>b>0),

则2〃=12,知a=6.又离心率6=§=牛，故c=35.

/./=〃2—，2=36—27=9.

22

椭圆的标准方程为会+，=1.

(2)以BC所在直线为无轴，的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面

直角坐标系，设P(x,y)是轨迹上任意一点，又|8。=2,二9一1,0),C(l,0),

贝iM(0,小).

V|M|2=|PB|2+|Pq2,

/.x2+(y—^3)2—(^+l)2+y2+U—l)2+y2»

化简得X2+(X+^/3)2=4.

小)

8(-1.0)0C(1.0)

又丁尸在△?13c内，：.y>0.

:.P点的轨迹方程为x2+(y+y/3)2=4(y>0).

其曲线如图所示为以(0,一4)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.

求动点轨迹方程常用的方法

(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关

系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：

①建立适当的平面直角坐标系，并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；

②写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)};

③用坐标表示条件P(M),写出方程yu，>)=0;

④化简方程y)=0；

⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是

等价的，则⑤可以省略.

(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹

方程.

(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x,y)依赖于另一动点。(xi，y),而。(xi，

M)又在某已知曲线上，则可先列出关于x,y,沏，y的方程组，利用x,y表示

修，州，把勺，yi代入已知曲线方程即为所求.

【跟踪训练2】如图，四边形MNP。是圆C的内接等腰梯形，向量说与所

的夹角为120。，QCQM=2.

(1)求圆C的方程；

(2)求以M,N为焦点，过点P,。的椭圆方程.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意得，△CQW为正三角形.

/.QC-QM=』cos60。=2,

...圆。的半径为2.

又圆心为(0,0),

二圆。的方程为d+y2=4.

(2)由(1)知M(2,0),N(—2,0),Q(l,5),

：.2a=\QN\+\QM\=2y[3+2,

.♦.。=小+1,c=2,

,b2=a2—c2=2yl3,

22

•••椭圆方程为危万+靠=L

探究3平面直角坐标轴中的伸缩变换

22

例3在下列平面直角坐标系中，分别作出羡+5=1的图形：

(l)x轴与y轴具有相同的单位长度；

(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；

(3)x轴上的单位长度为>-轴上单位长度的宗

22

解⑴建立平面直角坐标系，使X轴与〉轴具有相同的单位长度，则亲+卷=

ZDy

1的图形如图①.

1f

(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的玄则会

+1=1的图形如图②.

1r2

(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的玄则福

+1=1的图形如图③.

在平面直角坐标系中，改变光轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题

x'=x，,1

(2)中也可以看作《,1x=-^x'

的伸缩变换，本题(3)中也可以看作2的

y=»•/=y

伸缩变换.

【跟踪训练3】本例中，(+^=1不变，试在下列平面直角坐标系中，分

别作出其图形：

(l)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的东

(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1倍.

3

解(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的*

22

则会+总=1的图形如图①.

3

(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的率则会

+^=1的图形如图②.

平

线方程

系与曲

角坐标

平面直

面

系

角坐标

直平面直

程

曲线方

角常见的

坐

换

标平移变

换

伸缩变

系中的

角坐标

系平面直

换

伸缩变

1.曲线C的方程为y=MlWxW5),则下列四点中在曲线C上的是()

A.(0,0)B.1,1C.(1,5)D.(4,4)

答案D

解析将答案代入验证知D正确.

2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()

A.|x|-|y|=lB.|x-y|=l

C.IW-|y||=lD.\x±y\=l

答案C

解析由题知c正确.

22

3.已知一椭圆的方程为器+R1,如果x轴上的单位长度为y轴上单位长

度的;，则该椭圆的形状为()

答案B

解析如果y轴上的单位长度不变，％轴上的单位长度变为原来的去则对应

的图形为B.

4.椭圆伸缩后可能是；双曲线伸缩后为；抛物线伸缩后为

答案椭圆或圆双曲线抛物线

5.已知动点M（x,y）到直线/：x=4的距离是它到点N（l,0）的距离的2倍.求

动点M的轨迹C的方程.

解如图，设点M到直线/的距离为d,根据题意，

d=2|MN|,

oMI.O）”

由此得|4—%|=24（%—1。+）,

22

化简得3+1=1,

22

二动点M的轨迹C的方程为a+1=1.

A级：基础巩固练

一、选择题

1.将圆2x—4y+l=0平分的直线是（）

A.x+y-l=0B.x+y+3=0

C.x—y+1=0D.x—y+3=0

答案C

解析因为圆心是（1,2）,所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.

2.方程f+xy=0表示的曲线是（）

A.一个点B.一条直线

C.两条直线D.一个点和一条直线

答案C

解析¥+孙=工（九+y）=0,即x=0或尤+y=0.

故方程_?+孙=（）表示两条直线.

3.一个正方形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形可能是（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.正方形、菱形或矩形

答案D

解析正方形在平面直角坐标轴中进行伸缩变换后，图形的形状是由其在平

面直角坐标系中的位置决定的.若顶点在坐标轴上，则是菱形或正方形；若顶点

在象限内，则是矩形或正方形.

4.在平面直角坐标系中，将龙轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，

22

则椭圆券+气=1进行伸缩变换后的图形是（）

答案B

解析在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2

22

倍,则椭圆芸+春=1的图形变为B.

5.平面内有一条固定线段AB,|AB|=4,动点P满足LB4|TPB|=3,0为AB

的中点，则|0P|的最小值是（）

31

A.2B.2C・2D.3

答案A

解析

以AB的中点。为原点，A8所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则

3

点尸的轨迹是以A,5为焦点的双曲线的一部分.2c=4,c=2,2〃=3,.・.a=5,

Z?2=c2­«2=4-4=4.

3

fy2-

.•.点p的轨迹方程为,一A2

44

3

由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|0P|最小，|0P|的最小值是参

6.已知△ABC的底边长为12,且底边固定，顶点A是动点，且sinB一

sinC=|sinA,若以底边为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系,

则点A的轨迹方程是()

fy2X2y2

A.§一方=1B.g-5y=l(x<-3)

W7/2

c.方—g=lD.苏—g=l(x<_3)

答案B

解析由题意知,B(-6,0),C(6,0),

由sinB-sinC=^sinA,得b—c=ga=6,

即|AC|—|A8|=6.

所以点A的轨迹是以3(—6,0),C(6,0)为焦点，2。=6的双曲线的左支且

22

y#0.其方程为■—有=1(%<—3).

二'填空题

7.在x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原

点为圆心，4为半径的圆的图形变为.

答案椭圆

解析如果x轴上的单位长度不变，y轴上的单位长度缩小为原来的今圆才

+/=16的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆.

8.已知点A(—2,0),仇一3,0),动点P(x,y)满足庆•丽=*+1,则点p

的轨迹方程是.

答案y2+5x+5=0

解析由题意得出=(一2—x,—y),

PB=(-3-x,-y),

.,.成.丽=(一2一x)(—3—%)+(—y)2=/+1,

即y2+5x+5=0.

9.如图所示，正方体ABCO—AiBCQi的棱长为1,点M在AB上，且AM

=148,点P在平面ABC。上，且动点P到直线45的距离的平方与尸到点M

的距离的平方差为1,在平面直角坐标系My中，动点P的轨迹方程是

答案y2=|x—1

解析过P作PQLAD于。，再过Q作于"，连接PH,PM,可

证设P(X,y),由|P”|2一|PM『=1，得尤2+1—%一12+y2=],化简得

221

y=3X-9-

三'解答题

10.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km

内的地区为危险区，城市3在4地正东40km处，求城市B处于危险区内的时间.

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B点坐标

为(40,0),以点8为圆心，30为半径的圆的方程为(x—40)2+y2=3()2,台风中心

移动到圆8内时，城市8处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y=x,与圆8

相交于点M,N,点8到直线y=x的距离

求得|MN)=2.3。2一心=20(km).

所以喘1=1,所以城市8处于危险区内的时间为lh.

r2v2

11.在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线髭一)=1的图形：

(l)x轴与y轴具有相同的单位长度；

(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；

(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的看

解(1)建立平面直角坐标系，使无轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线若

-^=1的图形如图所示.

(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的右双曲

22

线的3=1的图形如图所示.

(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的：，双曲

2

线/,一方v=1的图形如图所示.

B级：能力提升练

学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图I,航天器

2

运行(按顺时针方向)的轨迹方程为京f6+V+=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变

为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M0,苧64为顶点的抛物线的实线部分,

降落点为力(8,0).观测点A(4,0),8(6,0).

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

⑵试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A,3分别为多远时，应

向航天器发出变轨指令？

解⑴设曲线方程为y=o?+与，

•点0(8,0)在抛物线上，

二曲线方程为y=-%+竽.

(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知

ll00+25=1,①

[y=-%+与，②

得4y2—7y—36=0.

9

y=4或丁=一不舍去），•'•y=4，

得x=6或x=—6（舍去）.

二。点的坐标为（6,4）,

：.\AC\=2y{5,|BC|=4.

所以当航天器离观测点A,B的距离分别为24，4,应向航天器发出变轨

指令.

r第三章坐标系_______________________________

DIYlZHANG2极坐标系

2.1极坐标系的概念

2.2点的极坐标与直角坐标的互化

一、极坐标系的概念

1.极坐标系的概念

V

01234X

如图所示，在平面内取一个定点0,叫做CL极点,从。点引一条射线Qx,

叫做0极轴,选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向）.这样就确定

了一个但平面极坐标系,简称蚂极坐标系.

2.极坐标的概念

对于平面内任意一点M，用〃表示位线段0M的长,。表示因以Ox为始边、

0M为终边的角度,。叫做点M的口极径,8叫做点M的①极角,有序实数对（皿

0,6）叫做点M的卬极坐标,记作QMS，0）.

特别地，当点M在极点时，它的极径。二盘①极角。可以取口任意值.

为研究方便，当p<0时，点M（p,。）的位置可以按下列规则确定：作射线

0P,使在0P的旦反向延长线上取一点M,使QM=bl，这样点M

的坐标就是S，

3.点与极坐标的关系

一般地，极坐标S，。）与S，6+2E）伙GZ）表示同一个点，特别地，极点。

的坐标为（0,0）（0£R）.和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标

有口无数种表示.

如果规定p〉0,0口〈2兀，那么除R极点外,平面内的点可用口唯一的极坐

标S，。）表示；同时，极坐标S，⑨表示的点也是同唯一确定的.

二、点的极坐标和直角坐标的互化

1.互化的前提条件

把直角坐标系的原点作为作极点,X轴的正半轴作为源极轴,并在两种坐标

系中取相同的叶长度单位,如图所示.

2.互化公式

设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（p，。）（/?巳0），

于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点M直角坐标（x,y）极坐标S，（9）

JC=(BPCOS<9，

互化公式Vp2=C^y2+y2

y=Q5psin^

tan9=(n2(xW0)

在一般情况下，由tan。确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角.

3］自诊小测

1.判一判（正确的打“，错误的打“X”）

（1）当p^R,eeR时，平面上的点与这一点的极坐标是—对应的.（）

（2）在极坐标系中A1,?B\,竽是同一点.（）

（3）点2,台点2,，关于极轴对称.（）

（4）点2,:化成直角坐标为（地，V2）.（）

答案（1）X平面上的点的极坐标有无数个.如2,鼻与2,号表示同一点.

⑵J

7T7TT

（3）X点2,4与点2,不关于极点对称.

(4)7

2.做一做

（1）点M的直角坐标为0,则点M的极坐标可以为（）

A.1，0B.0,

〃兀兀C兀兀

CT2D.5'~2

答案C

解析Vp=^/x2+y2=^,且8=去.,.点M的极坐标可以为看宏

（2）在极坐标系中与点P2,，表示同一点的是（）

A.-2,鼻B.2,一w

--4兀--71

C.-2,"yD.—2,—

答案c

解析在极坐标系中将点P确定，再逐个验证知C正确.

（3）已知A,8两点的极坐标分别为6,:和8,y,则线段A3的中点的直角

坐标为（）

宏案一」一近

u木2'2

解析把A,B两点的极坐标化为直角坐标分别是（3,3小），（一4,一44）.由

直角坐标系的中点坐标公式得，线段AB的中点的直角坐标为一今一坐

（4）若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，点A的极坐标是4,

y,则它的直角坐标为.

答案（2,一2小）

解析因为x=pcos8=4cos磬=2,y=psin6=4si浮=一2小，所以它的直角

坐标为（2,一2小）.

jrjr

(5)在极坐标系中A2,%,36,一4,则。4,08的夹角为.

答案f

解析0A与0B的夹角NA08=曰---

探究1极坐标的概念

例1(1)已知点A的极坐标是6,苧，分别在下列给定条件下，画出点A关

于极点。的对称点A'的位置，并写出A'的极坐标：

①〃〉o,—Tivewn；②〃<o,owe<2兀；③2<0,—2兀<e〈o；

TT

(2)已知点。(p，。)，求点。关于直线的对称点P的极坐标.

解(1)如图所示，

\OA\=\OA'|=6,

ZxOA'=兴

5兀、

ZxOA=~^-,即A与A'关于极点。对称，由极坐标的定义知:

27r

①当">0,一兀兀时，A'点的坐标为6,-y；

②当〃V0,0W6V2兀时，A'点的坐标为一6,y；

JT

③当pVO,—271V6W0时，A'点的坐标为-6,-y

(2)由P,。关于直线。=制称，得它们的极径|。尸|=|。。|,

点P的极角/满足夕=兀一e+2E(ZSZ),所以点P的坐标为s，(2Z+D无

一。)或(一7),2kn-0)(k^Z).

1.点的极坐标的特点

设点M的极坐标是S，。)，则〃点关于极点的对称点的极坐标是(一P，。)或S，

。+兀)；M点关于极轴的对称点的极坐标是S，-0);M点关于过极点且垂直于极

轴的直线的对称点的极坐标是S，兀一。)或(一p,一。).

2.由极坐标确定点的位置的步骤

(1)取定极点0;

(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；

(3)以极点。为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确

定出极角的终边；

(4)以极点。为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的

位置.

7T37rTT

【跟踪训练1】⑴在极坐标系中，画出点A1,去B2,y,C3,一会

⑵在极坐标系中，点A的极坐标是3,I，求点A关于直线的对称点的

极坐标(规定.>0,2?r]).

解(1)如图所示.

(2)作出图形，可知A(3,I

0X

探究2极坐标与直角坐标的互化

例2(1)分别把下列点的极坐标化为直角坐标:

(2)分别把下列点的直角坐标化为极坐标(规定0或。<2兀)：①(0,0)；②

(-1,-1)；(3)(-2,2小).

解(l^：x=pcos0=2cos^=#,

y=psin8=2si%=1.

二点的极坐标(2,

，1)・

..兀兀

②・••x=pcos8=3cos/=0,y=〃sin9=3sing=3.

二点的极坐标(3,舒化为直角坐标为(0,3).

③x=pcos^:=ncosn=-7i,y=psin^=Tisinn=0,

二点的极坐标(兀，兀)化为直角坐标为(一无，0).

(2)①由于直角坐标原点(0,0)与极点重合，所以规定p20,0忘82兀时，其

极坐标为(0,&).

②•：p=7$+)>2=J(—1)2+(—1)2=^2,tan8=《=l,。引0,2兀).

5兀

,点(一1,一1)在第三象限，二。=^.

...点的直角坐标(一1,一1)化为极坐标为(啦，第.

③,•7=、*2+,2=寸(—2)2+(2#)2=4,

tan6>=?=一小，。©[0,2兀).

•.•点(一2,2小)在第二象限，，。二丁.

二点的直角坐标(-2,24)化为极坐标为(4,用.

(1)将点的极坐标S，。)化为点的直角坐标(x,y)时，运用到求角。的正弦值和

余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.

(2)将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(p，。)，当.20,，金[0,2兀)时，除极点

外点的极坐标是唯一的，此时由tan0=*xW0)求角。时有两解，所以要根据点所

在的象限求出角6,通常称为主值角；当pBO,夕GR时，点的极坐标是不唯一的,

一般根据终边相同的角的意义将点的极坐标表示为S，8+2E)(Aez).

【跟踪训练2]⑴把点M的极坐标(8，用化成直角坐标；

(2)把点P的直角坐标(加，一色)化成极坐标(规定0>0,0或。<2无).

兀

解(l)x=8co2s^=-4,y=8sin2-7^c=4-\/3,

因此，点M的直角坐标是(-4,4^3).

（2）2=4（班产+（一6）2=2啦,

―y[2

tand=V63，

又因为点在第四象限，得。=詈11T.T

11兀'

因此,点P的极坐标为

探究3极坐标的应用

例3在极坐标系中，如果点A,B的极坐标分别为A2,I，B2,且4

ABC为等腰直角三角形，求直角顶点。的极坐标与该三角形的面积.

解解法一：（利用坐标转化）

对于点A2,I，直角坐标为（也，、⑵，点血，苧的直角坐标为（一啦，-72）.

设点C的直角坐标为（x,y）,

由题意得AC_L3C,

且|AC|=|8q,：.ACBC=O,

即(%—也，y—啦)<尤+也，y+&)=0,

二(%—A/2)(X+^/2)+(J?—^/2)(j+->/2)=0,

.,.x2+y2=4.①

又依。2=山。2,于是

(X—也)2+3—/)2=(X+啦)2+(y+/)2,

即旷=—x,代入①得$=2,解得％=/，

.X=啦，#x=—\f2,

..1厂或J

[y=—y]2[y=V2,

.•.点C的直角坐标为（啦，一色）或（一/，巾）.

.•.〃=、2+2=2,tanO=­1,。=牛或苧，

...点C的极坐标为2,于37r或2,y77.r

SZ\ABC=KAC]|BC|=5AC|2=2X8=4.

解法二：设点。的极坐标为s，e）s＞。，owev27i）,

Tt

•.,|A8|=2Q*=4,NC=5，\AC\=\BC\,

：.\AC\=\BQ=2yj2,

p2+22—2X2/?cos。一1=8，①

即

p2+22—2X2pcos0—^=8,

②

①+②化简得22=4,由p>0得p=2,

jr

代人①得cos。-a=0，

TTJr37r

・二。一1=/+%兀，kez,即9=/+E,kez,

又0W8V2兀，令k=0,1,得。=,或牛,

.,.点C的极坐标为2,于3兀或2,7年7i

5AABC=1|^GISC|=||AC|2=1X8=4.

1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等腰直角三角形的

意义和性质.结合几何图形可知，点。的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关

系建立方程组求解是关键.

2.坐标平面内两点间的距离公式

(1)如果已知点的直角坐标A(xi，»),8(x2,m)，

那么|AB|=7(修一元2)2+&1—>2)2；

(2)如果已知点的极坐标ASi，&)，B(p2,。2)，那么\AB\=

、后+/一20P2cos(仇一。2).

【跟踪训练3】在极坐标系中，点A和点3的极坐标分别为2,和(3,0),

O为极点.

⑴求|AB|；(2)求SAAQB.

解解法一：\AB\=Np：+优一2Plp2cos(仇一。2)

=422+32-2X2X3Xcos1-0

=.4+9—6

=巾.

S^AOB=^OA)\OB\smZ.AOB

=京2><3Xsiig-0=4^.

解法二：A,8的直角坐标为A(l,68(3,0),

：.\AB\=A/(3-1)2+(仍-0)2=市.

1.极坐标系的概念

极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.

2.点的极坐标

每一个有序实数对S，。）确定一个点的位置，其中，〃是点M的极径，。是点M

的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.如果限定">0,

0或。<2兀，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.

3.极坐标与直角坐标的互化

点的直p=y/c2+)：2,lan0=y点的极

角坐标坐标

x=Pcon0,)-Psin0(P.O)

事实上，任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角

坐标的互化公式的纽带.

1.在极坐标系中,下列与点M（5，6J重合的点的极坐标是（）

A.（5,一目B.

心6，-普）D.

答案D

解析与点M（5,一野）重合的点的极坐标可表示为5,5+2k?r（keZ）,故选

D.

C.（2，明D.（2囹

答案D

解析点F（2,号关于极轴对称的点的极坐标为2,-j+2kn,ZGZ,故D

不满足.

3.点M（l,We［O,兀］）的轨迹是（）

A.射线B.直线C.圆D.半圆

答案D

解析因为点M（l,。）满足p=|OM=l，。仁［0,无］,所以点M的轨迹是以

极点为圆心，半径为1的圆的上半部分，即半圆.

4.点A的极坐标是（一2，春），则点A的直角坐标为（）

A.（―1,一小）B.（一小，—1）

C.（小，1）D.（小，-1）

答案C

解析点A的极坐标是一2,普,即2,1所以x=2以谤=小,产2s琮=1,

.•.点A的直角坐标为（小，1）.

5.直线/过点A（3,W，«3,苏则直线/与极轴的夹角等于.

答案I

解析如图所示，先在图形中找到直线/与极轴的夹角（要注意夹角是个锐

角），然后根据点A,B的位置分析夹角大小.

0C

因为依。|=出。|=3,

6s

所以N04?=-y-=^.

所以ZAC0=7t—^—^=^.

A级：基础巩固练

一、选择题

1.极坐标（1，用对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系

的（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析由题意可得2=1,。=看27r，

1色

.•.x=pcos9=y=psin9=亍,

故它的直角坐标为（一看坐）在第二象限，故选B.

2.已知点A,B的极坐标分别为（3,穿和（2小用，则A和3之间的距离为

（）

A.\[3B.273C.3D.1

答案A

解析由已知得|。4|=3,\0B\=2V3,ZAOB=1,所以网=

AJ3?+（2小了―2X3X2小畸=小.

3.点，；）关于极点。对称的点的一个极坐标是（）

A.11由B.（1用

C.（1，用D,[1，一引

答案B

解析与点尸（1,彳）关于极点对称的点的极坐标可表示为（1,苧+2E）（AG

Z）,故选B.

4.若0+22=0，。|+仇=兀，则点根低，仇）与点怪3，。2）的位置关系是（）

A.关于极轴所在直线对称

B.关于极点对称

C.关于过极点垂直于极轴的直线对称

D.两点重合

答案A

解析因为点s，e）关于极轴所在直线对称的点为（一〃,兀一。）.由此可知点Si，

仇）和（P2，。2）满足Pl+p2