高中数学-【课堂实录】基本不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE1PAGE3.4.1基本不等式课标要求：通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想。在教学过程中，进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想。教学分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。二、教学目标1、知识与技能：(1)师生共同探究基本不等式；(2)了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明；(3)会简单运用基本不等式。2、过程与方法：通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。3、情感、态度与价值观：(1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；(2)通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。学情分析：

在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法，对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解，为基本不等式的学习提供了基础。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。我班学生整体基础知识一般，部分学生思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。三．重点难点重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程。难点：基本不等式等号成立条件及应用。四、课时安排2课时五、教学方法：讨论法、演示法、启发法、练习法等六、教学设想教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。（一）创设情景，提出问题；设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。[问]：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。在此基础上，引导学生认识基本不等式。(二)抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a＝b时，等号成立。[问]：你能给出它的证明吗？学生在黑板上板书。特别地，当a>0,b>0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.答案：。【归纳总结】如果a,b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。(三)理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2、符号语言叙述：若，则有，当且仅当a=b时，。[问]：怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即；仅当a=b时，取等号，即。3、探究基本不等式证明方法：[问]：如何证明基本不等式？（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。）方法一：作差比较或由展开证明。方法二：分析法（完成课本填空）设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。要证①只要证②要证②,只要证③要证③,只要证④显然,④是成立的。当且仅当a=b时,④中的等号成立。点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.4、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。说明：基本不等式结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值(四)探究归纳思考：例1:活动：教师引导学生通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.本题中的已知条件给出了x＞1，因此可以考虑用基本不等式.本例教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.点评：学生由问题中条件不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.跟踪练习1：点评：学生基本掌握结论：若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。简记为：“一正、二定、三相等”。(五)领悟练习：公式应用能力提升：活动：本题是一道和为定值的经典例题，有一定灵活性，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要添加项，构造和为定值。先决条件是认识基本不等式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，并点拨学生结合基本不等式思考.解：点评：基本不等式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.(六)反思总结，整合新知：设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.老师根据情况完善如下：一个不等式：若，则有，当且仅当a=b时，。两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”（七）：随堂检测：效果反馈：总得来说，基本圆满的完成了本节课的教学任务，学生掌握的还是良好，并且学生有所收获，学生在基本不等式的掌握与灵活运用上能熟练应用，但个别同学在计算上出现失误。七、作业课本习题练习1.2.3八、板书设计：九、教后反思：数形结合是我们认识数学的重要思想。本课的设计思路是：“从‘赵爽弦图’引出基本不等式——利用代数知识证明基本不等式——从几何和代数两个角度发掘基本不等式的变形形式——数学建模，利用基本不等式求最值——实际应用，利用基本不等式指导生活实践”。从几何图形中提炼和挖掘数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践.在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心安排“赵爽弦图”的背景，同时在后续探究中，不断的让学生从单位圆中发现基本不等式的变形形式，到后面让学生用代数知识证明不等式链，让学学生探究问题的过程中既复习了数学知识，又培养了他们形数结合的数学思想；在思维拓展中，利用课本变式，引导学生用基本不等式求最值，训练了学生的建模思想，体会了不等式的应用；最后围绕电脑屏幕问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；以上种种正好体现出新课程的新理念.成功之处：在本节课教学中，一是问题情境的创设与生成始终渗透是一大亮点，让学生始终从数和形两方面加深对不等式的认识；二是源于课本，对教材的加工、改造和策划成功，做到了既贴近学生的最近发展区，又有效地达成了本节课的教学标准.改进之处：由于本节课教学预设充分，但实际上课受到学生对象的制约，教学节奏不够理想，过程展开不够充分，课堂结尾显得有些仓促.学情分析：在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法，对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解，为基本不等式的学习提供了基础。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。我班学生整体基础知识一般，部分学生思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。效果分析：本节课的教学通过设问提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳概念，由问题的提出进一步加深理解；这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。加强过程性评价，创设公平、平等、宽松、积极向上的课堂环境，这就要求对学生的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，充分暴露思维，及时矫正，调整思路。总得来说，基本圆满的完成了本节课的教学任务，学生掌握的还是良好，并且学生有所收获，学生在基本不等式的掌握与灵活运用上能熟练应用，但个别同学在计算上出现失误。教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。随堂检测：活动：学生分析题目中2x+(1-2x)=1为常数。观察所给条件的结构，由问题进一步加深定值的理解。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。本例要求对学生的语言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励，充分暴露思维，及时矫正，调整思路。效果反馈：总得来说，基本圆满的完成了本节课的教学任务，学生掌握的还是良好，并且学生有所收获，学生在基本不等式的掌握与灵活运用上能熟练应用，但个别同学在计算上出现失误。教后反思：数形结合是我们认识数学的重要思想。本课的设计思路是：“从‘赵爽弦图’引出基本不等式——利用代数知识证明基本不等式——从几何和代数两个角度发掘基本不等式的变形形式——数学建模，利用基本不等式求最值——实际应用，利用基本不等式指导生活实践”。从几何图形中提炼和挖掘数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践.在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心安排“赵爽弦图”的背景，同时在后续探究中，不断的让学生从单位圆中发现基本不等式的变形形式，到后面让学生用代数知识证明不等式链，让学学生探究问题的过程中既复习了数学知识，又培养了他们形数结合的数学思想；在思维拓展中，利用课本变式，引导学生用基本不等式求最值，训练了学生的建模思想，体会了不等式的应用；最后围绕电脑屏幕问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；以上种种正好体现出新课程的新理念.成功之处：在本节课教学中，一是问题情境的创设与生成始终渗透是一大亮点，让学生始终从数和形两方面加深对