第二章逻辑代数及逻辑函数的

第二章逻辑代数及逻辑函数的第一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五本章作业：2.1（3）（4）（7）（8）、2.2（3）、2.3（2）2.6（5）（6）（7）（8）、2.8、2.11（2）（4）（5）2.12（1）（2）、2.13（3）（5）、2.14（2）（3）2.16（1）第二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五§2—1逻辑代数的基本原理逻辑代数中的变量与普通代数中的变量一样，也是以A、B、C等字母来表示，但这些变量只能取值为0或1，这里的0或1不表示变量的大小，而表示两种对立的关系，如低电平、高电平；无信号、有信号；开关的断、通；灯的熄、亮等。逻辑代数表达的是电路输入与输出间的逻辑关系，而不是数量关系。

F＝f(A，B，C…)其中：A、B、C...为输入逻辑变量，取值是0或l；

F为输出逻辑变量，取值是0或l；

F称为A、B、C...的输出逻辑函数。第三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五一、逻辑代数的基本运算1、“与”运算EABCF真值表设：开关打开—“0”闭合—“1”灯灭—“0”亮—“1”0000001010011100101110111ABCF0000001逻辑函数式F=A•B•C逻辑符号ABCF&ABCFABCF第四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2、“或”运算AEBCF设：开关打开—“0”闭合—“1”灯灭—“0”亮—“1”ABCF00010111110111100001111010101011或逻辑真值表逻辑函数式F=A+B+C逻辑符号FABC>1FABC+ABCF第五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3、“非”运算EFARAF0011非逻辑真值表逻辑函数式逻辑符号AFAFA1FABF=ABF=A+BF=AF=A第六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五二、复合逻辑关系1、“与非”F=A•BABFABF&F=ABACACDBD“与非”表达式ABCDF第七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2、“或非”F=A+B+CFABC+FABC>1F=A+B+A+C+D+B+D“或非”表达式3、“与或非”F=AB+CD4、“异或”F=AB+ABF+ABCDABF101000011110=ABABF=1ABF5、“同或”F=AB+AB=ABABFCD1&=ABFABF第八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五关于门电路符号的说明PCFPCF+PCF+先“或”后“非”和先“非”后“与”等价先“与”后“非”和先“非”后“或”等价PCF第九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五三、逻辑代数的基本公式、规则1、基本公式AA=0A+A=1互补律1A=A1+A=11律0A=00+A=A0律AB=BAA+B=B+A交换律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C结合律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)分配律第十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五吸收律A+AB=A+BA•(A+B)=A•BA+A•B=AA(A+B)=A反演律(德•摩根定律)A•B=A+BA+B=A•B10000111ABA•BA+B11111100证：由分配律A+AB=(A+A)(A+B)=A+B第十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五摩根定律的应用①、求反函数F=AB+BC+ACDF=AB+BC+ACD=AB•BC•ACD②、将“与或”表达式化为“与非”表达式F=AD+BCD+ABC+CD=AD•BCD•ABC•CD对合律A=A重叠律A+A=AA•A=A第十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五包含律(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+AC证：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC推论：AB+AC+BCDEF=AB+AC第十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2、三个规则1）代入规则：A•B=A+B用A=CD代替A,等式仍成立CD•B=CD+B=C+D+B2)反演规则：F:若：“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0”原变量反变量，反变量原变量则：FF【例如】F1=AB+BD+ACD+0F1=(A+B)(B+D)(A+C+D)1F2=A+BD+ABCDF2=A•(B+D)•(A+B+C+D)第十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3)对偶规则：若：“•”“+”,“+”“•”,“0”“1”,“1”“0”F:则：FFF与F互为对偶函数如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。1•A=A0+A=AAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)函数对偶式的对偶式为函数本身。(A+B)(A+C)(B+C)=第十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3、“异或”性质AA=0AA=1A0=AA1=AAB=AB=(AB)1AB=BAA(BC)=(AB)CA•(BC)=(A•B)(A•C)“异或”门电路的用处(1)可控的数码原/反码输出器(2)作数码同比较器(3)求两数码的算术和A0=AA1=AABF101000011110第十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五§2—2逻辑函数的化简一、公式法化简逻辑函数1、“与或”表达式的化简最简与或表达式：1、乘积项的个数最少(用门电路实现，用的与门数最少)。2、在满足1的条件下，乘积项中的变量最少(与门的输入端最少)。省器件：用最少的门，门的输入也最少第十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例1】展开：合并：互补律：互补律：F=A(BC+BC)+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC=A【例2】F=A(B+C)+BC=A•BC+BC=A+BC反演律吸收律第十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例3】F=ABC+ABC+CD+BD+ABD=(CD+BD+ABC)+ABC+ABD=CD+BD+ABC+AB包含、吸收律=CD+BD+ABD+ABC包含、吸收律=CD+BD+BC+AB包含律=CD+BD+BD+BC+AB=CD+B+BC+AB=CD+B第十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例4】F=AB+AB•BC+BC=AB+AB+BC+BC=AB+AB+BC+BC+AC=AB+BC+AC或=AB+AB+BC+BC=AB+AB+BC+BC+AC=AB+BC+AC可见：最简式不唯一第二十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2、“或与”表达式的化简最简条件：(1)、或项个数最少(或门用的最少)(2)、在满足1的条件下，或项中变量数最少化简方法：1、利用对偶规则，将“或与”表达式转换为“与或”表达式。2、实际化简“与或”表达式。3、利用对偶规则将“与或”最简表达式转换为“或与”最简表达式。第二十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例】F=(A+B)(A+C)(B+C)(A+C)F=AB+AC+BC+AC对偶规则=AB+AC+AC=AB+C则：F=(A+B)•C第二十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五二、图解法化简逻辑函数1、最小项与最大项最小项【例】

n=3，对A、B、C，有8个最小项乘积项包含全部变量以原变量或反变量的形式只出现一次CBACBACBACBACBACBACBACBA最小项最小项编号m0m1m2m3编号m4m5m6m7第二十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五最小项的性质1)最小项为“1”的取值唯一。如：最小项ABC,只有ABC取值101时，才为“1”，其它取值时全为“0”。2)任意两个最小项之积为“0”。3)全部最小项之和为“1”。4)某一个最小项不是包含在函数F中，就包含在反函数F中。第二十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五最小项表达式全部由最小项构成的“与或”表达式为最小项表达式(标准“与或”表达式)。【例1】F=ABC+BC=ABC+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC=m4+m5+m7=m3(4，5，7)三人表决电路【例2】CBAF00000001110111100001111010101011F=ABC+ABC+ABC+ABC=m3+m5+m6+m7=m3(3，5，6，7)第二十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五最大项或项包含全部变量以原变量或反变量的形式只出现一次【例】

n=3，对A、B、C，有8个最大项CBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAM76543210++=++=++=++=++=++=++=++=第二十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五最大项表达式CBAF00000001110111100001111010101011F=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M0M1M2M4=M3(0，1，2，4)第二十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五最大项的性质1)最大项为“0”的取值唯一。如：最大项A+B+C,只有ABC取值010时，才为“0”，其它取值时全为“1”。2)任意两个最大项之和为“1”。3)全部最大项之积为“0”。4)某一个最大项不是包含在函数F中，就包含在反函数F中。第二十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五最小项和最大项的关系CBAF000000011101111000011110101010111、相同i的最小项和最大项互补。Mi=mi

mi=Mim3=ABCM3=A+B+C2、mi和Mi互为对偶式。F=m3(3，5，6，7)F=M3(0，1，2，4)=ABC+ABC+ABC+ABC=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)第二十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2、卡诺图卡诺图的构成(1)、由矩形或正方形组成的图形(2)、将矩形分成若干小方块，每个小方块对应一个最小项2变量卡诺图一个整体可由代表4个最小项的四个小方格组成：ABABABAB改画成：m0m1m2m3AB0110m0m1m2m3第三十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3变量卡诺图一个整体分成8个小方格BAC1000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m7

m6

注意：上表头编码按00－01―11－10循环码顺序排列，而不是00－01－10－11第三十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五4变量卡诺图BADC0011011000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m7

m6

m13

m12

m15

m14

m9

m8

m11

m10

DCBA0011011000110110m4

m0

m12

m8

m5

m1

m13

m9

m7

m3

m15

m11

m6

m2

m14

m10

第三十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五5变量卡诺图BAED00001100101000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m11

m9

m7

m8

m27

m26

m6

m16

m19

m10

C110111101100m12

m13

m14

m15

m17

m18

m20

m21

m22

m23

m24

m25

m28

m29

m30

m31

第三十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3、逻辑函数的卡诺图表示F(A,B,C,D)=m4(0,2,6,8,11,13,14,15)BADC001101100011011011111111【例1】第三十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例2】F=AB+BC+AC=ABC+ABC+ABC+ABCBAC10001101101111【例3】F=BC+AC+ABD+ABCDBADC00110110001101101111111111第三十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五BAC1000110110111111BAC10001101101111114、卡诺图化简BAC1000110110111111ABCABC+=ACABCABC+=ABABCABC+=BCF=AC+AB+BC两个相邻的最小项可以合并消去一个变量。F=AB+BC+AC逻辑函数的最简式不唯一第三十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五卡诺图化简BAC1000110110111111BAC1000110110111111F=AC+AB+BC+BC冗余项BAC1000110110111111F=AB+AB+ABC+ABCABABF=B+ABA四个相邻的最小项可以合并消去两个变量。八个相邻的最小项可以合并消去三个变量。不是最简式第三十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五BADC00110110001101101111111111【例1】F=DC+BC+AC第三十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例2】F=ABC+ACD+ABD+AD+AC化简逻辑函数BADC0011011000110110111111111111F=BC+AC+AD+BD+ACD第三十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例3】Y=(A,B,C,D)=m4(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)试用卡诺图化简逻辑函数BADC00110110001101101111111111111F=D+AB+BC+AC+ABC第四十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五BAED00001100101000110110C110111101100【例4】试用卡诺图化简逻辑函数Y=(A,B,C,D,E)=m5(1,5,9,13,16,18,20,22,27,31)1111111111F=ABE+ADE+ABDE第四十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五用卡诺图化简遵循的原则：（1）每个圈应包含尽可能多的最小项；BADC001101100011011011111111（2）每个圈至少有一个最小项未被其它圈圈过；F=AC+BCD+ABD+ABD+BCD第四十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五（3）圈的数目应尽可能少；（4）所有等于1的单元都必须被圈过；BADC001101100011011011111111（5）最简“与或”表达式不唯一。F=AD+AC+BCD+ABCD第四十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五三、单输出逻辑函数的表格法化简(Q—M法)——计算机辅助逻辑设计的方法1、卡诺图法化简直观方便，过程简单明了，但只适合于变量数

4的函数。2、Q-M(Quine-McCluskey)法和卡诺图法的化简思路是一致的。3、Q-M法是用分组表格法，把两相邻与项合成为一新的与项，从而消去一变量。它适合于变量数>4的函数，化简过程规律性强，适用于计算机算法实现。第四十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五Q-M方法的基本思想什么情况下会出现“相邻两个最小项中有一个变量互补”？从最小项的编号上看有什么规律？以4变量卡诺图为例：m1同m0，m3，m5，m9相邻下标编号为：0001与0000,0011,0101,1001m1同m4，m8，m10，m13等不相邻下标编号为：0001与0100,1000,1010,1101结论：最小项编号中“1”的个数差＝0，肯定不相邻最小项编号中“1”的个数差2，肯定不相邻最小项编号中“1”的个数差＝1，可能相邻！按照最小项mi下标编号中二进制数“1”的个数进行分组比较，可以化简。第四十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五名词解释：BADC0011011000110110m1m2m5m7m8m10m12m13m151、质蕴涵项是一个积项，它再不能和其它项合并而形成更简单的积项。m(5,7,13,15)m(1,5)m(12,8)m(12,13)m(2,10)m(8,10)2、实质最小项如：只被一个质蕴涵项所包含的最小项。如：m1,m2,m7,m153、必要(基本)质蕴涵项至少包含一个实质最小项的质蕴涵项。如：m(1,5)，m(2,10)，m(5,7,13,15)第四十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五Q—M法化简步骤：最小项DCBA最小项DCBA最小项DCBA【例】化简F(A,B,C,D)=m4(2,4,6,8,9,10,12,13,15)1、根据最小项二进制码中“1”的个数，对函数的全部最小项进行分组排队。20010401008100060110910011010101211001311011511112、在组与组之间逐一搜索相邻项，合并成消去一个变量的积项。8,9,12,132,60–102,10–

0104,64,128,98,108,120

1–0–

100100–10–01–009,1312,131–01110–13,1511–11–0–PI1质蕴涵项PI2PI3PI4PI5PI6PI7第四十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五Q—M法化简步骤：(续）最小项DCBA最小项DCBA最小项DCBA20010401008100060110910011010101211001311011511118,9,12,132,60–102,10–

0104,64,128,98,108,120

1–0–

100100–10–01–009,1312,131–01110–13,1511–11–0–PI1PI2PI3PI4PI5PI6PI7在表中，未打“√”的，标以PI1~PI7，为质蕴涵项。全部质蕴涵项，覆盖了F的全部最小项。第四十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五用卡诺图画出F的全部质蕴涵项F(A,B,C,D)=m4(2,4,6,8,9,10,12,13,15)BADC00110110001101102468910121315PI1(8,9,12,13)PI2(2,6)PI2PI3(2,10)PI3PI4(4,6)PI4PI5(4,12)PI1PI5PI6(8,10)PI6PI7PI7(13,15)

可见，P1~P7中有不必要的质蕴涵项：为此，下一步骤就要从全部质蕴涵项中选出必要的质蕴涵项。第四十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3、列质蕴涵项表，寻找必要的质蕴涵项2468910121315PI1PI2PI3PI4PI5PI6PI7

实质最小项PI1PI7PI1、PI7中包含了实质最小项，为必要质蕴涵项，化简时必须保留。PI1、PI7中已经包含的最小项在后面化简时不必再考虑。第五十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五4、列简化的质蕴涵项表24610PI2PI3PI4PI5PI6简化规则：1、被别的行所覆盖的行可从表中消去。2、覆盖了其它列的列可从表中消去。F=PI1+PI7+PI3+PI4=BD+ABC+ACD+ACD第五十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五用卡诺图化简BADC0011011000110110111111111=BD+ABC+ACD+ACDF第五十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五循环PI表的化简023457PI1PI2PI3PI4PI5PI6不含必要质蕴涵项PI1PI6PI5PI4PI3PI25437F=PI1+PI4+PI5第五十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五循环PI表的化简(续)023457PI1PI2PI3PI4PI5PI6简化PI表2357PI1PI3PI4PI5PI6PI2F=PI2+PI3+PI6可见：最简表达式不唯一。BAC1000110110111111第五十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五四、多输出逻辑函数的表格法化简多输出逻辑函数：同一组输入变量，有两个以上的输出。F1＝f1(A,B,C…)F2＝f2(A,B,C…)化简时，在“与或”表达式中要尽量寻找公共的“与”项，使公共项为多个函数共享，这时从单个输出看可能不是最简，但总体是最简。第五十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例1】F=AB+BC+ACG=AB+BCF=ABBCACG=ABBC共需要七个“与非”门BAC10001101101111111BAC1000110110111F=AB+BC+ACG=AB+BCF=ABBCACG=ABBC只需要五个“与非”门第五十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例2】F(A,B,C,D)=m4(1,3,4,5,6,7,15)G(A,B,C,D)=m4(1,3,10,14,15)BADC00110110001101101111111BADC001101100011011011111F=ACD+ABCD+CDG=ACD+ABCD+ABD第五十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五多输出逻辑函数的表格法化简特点：1、每个被列出的最小项后边必须标明它是出现在哪个函数中的最小项。2、两项仅当它们都具有至少一个相同的标志时才能合并。3、仅当某项所具有的全部标志都出现在合并后的项时，才能将它打上“”号。第五十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例】FHFGHGHHGH001100011101110111143567F0000标志CBA最小项标志CBA最小项标志CBA最小项F(A,B,C)=m3(0,1,3)G(A,B,C)=m3(3,5,7)H(A,B,C)=m3(3,4,5,6,7)化简0,100–F1,30–

1F4,510–H4,61–

0H3,7–

1

1GH5,71–

1GH6,711–H4,5,6,71–

–HPI1PI2PI3PI4PI5PI6第五十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五质蕴涵项表PI1HPI2F

PI3F

PI4GH

PI5GH

PI6FGH

FGH01333455776简化PI表PI4GHPI3FPI6FGHFGH333F=PI2+PI6=BC+ABCG=PI5+PI6=AC+ABCH=PI1+PI6=C+ABC可以看出：每一个输出不是最简，但总体是最简。第六十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五五、包含任意项的逻辑函数的化简任意项(约束项、无关项、不管项)包含任意项的逻辑函数：函数F的取值只和一部分最小项有关，另一部分最小项既可以取“0”，也可以取“1”，这些最小项称“不管项”或“任意项”。“任意项”的两种情况：1.有些输入变量的取值组合根本不会出现。2.所有的输入组合虽能出现，但在某些约束条件下，这些组合的输出不存在。第六十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五【例1】求：8421码中出现奇数的逻辑函数。DCBAF00000000110010000111010000101101100011111000010011有效状态F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD101010111100110111101111无效状态ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=0或：F=m4(1,3,5,7,9)4(10,11,12,13,14,15)=0或：F=m(1,3,5,7,9)+(10,11,12,13,14,15)约束方程：第六十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五用卡诺图化简包含任意项的逻辑函数11001000011111000110110100001011100001001100000000FABCD101010111100110111101111BADC001101100011011011111F=A(10,11,12,13,14,15)=0或：F=ACD+BD=0