高中数学第二章推理与证明2.3.1数学归纳法讲义1新人教B版选修

数学归纳法请问：以上三个结论正确吗？为什么?

得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点

问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。

问题3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”

问题2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五边形的内角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)•180º。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全归纳法，问题3是用的完全归纳法。一、提出问题1、错2、对3、对二、概念1、归纳法定义：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。2、归纳法分类：归纳法

完全归纳法不完全归纳法想一想：由两种归纳法得出的结论一定正确吗？说明：（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论不一定正确。（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。提出问题如何寻找一种严格推理的归纳法？思考？有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）创设情境⑴第一块骨牌倒下；⑵任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下☞两个条件的作用：条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*

，kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。【归纳奠基】【归纳递推】例题：用数学归纳法证明（二）、数学归纳法的步骤根据(1)(2)知对任意的时命题成立。注：（1）证明当取第一个值或时结论正确（2）假设当时结论正确，并证明当时结论也正确。两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。（1）（2）用数学归纳法证明：练习1用数学归纳法证明：证明：

请你来批作业第二步的证明没有用上归纳假设!用数学归纳法证明：证明：

练习1证明：1、当n=1时,左=12=1，右=∴n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1时，原等式成立由1、2知当nN*时，原等式都成立练习1.用数学归纳法证明第二步的证明要用上归纳假设!(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到

n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.

证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：多米诺骨牌动画演示返回问题情境三

题型一用数学归纳法证明等式问题第二步的证明要用上归纳假设!例3、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:证:(1)当n=1时,=1,结论成立.(2)假设当n=k时,结论成立,即则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.第二步的证明要用上归纳假设!题型二用数学归纳法证明不等式问题例5、用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:题型二用数学归纳法证明不等式问题即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例6、证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都成立.例7、求证:证:(1)当n=2时,左边=,右边=,由于

故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即

则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例8、已知x>1，且x0，nN，n2．求证：(1+x)n>1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即

(1+x)k>1+kx当n=k+1时，因为x>1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明：（1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x0，∴1+2x+x2>1+2x=右∴n=1时不等式成立例9、已知求证:.证:(1)当n=2时,,

不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即则当n=k+1时,有:即当n=k+1时,不等式成立.由(1),(2)所证不等式对一切都成立.题型三用数学归纳法证明整除问题例11、用数学归纳法证明:

当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有

都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.例12、用数学归纳法证明:能被8

整除.证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.那么:因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n,An能被8整除.例13、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.证:(1)当n=1时,x3n-1+x3n-2+1=x2+x+1,从而命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被

x2+x+1整除则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+12+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1)因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1)-整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.即当n=k+1时,命题成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.题型四用数学归纳法证明几何问题例15、平面内有n(n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数为多少?并证明.当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,

而f(2)=×2×(2-1)=1,∴命题成立。

∴k+1条直线交点个数=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),

即当n=k+1时命题仍成立。2）假设n=k(k∈N,k≥2)时，k条直线交点个数为

f(k)=k(k-1),题型