高中数学苏教版4坐标系极坐标系苏教版4极坐标系（59张）

极坐标系第一讲坐标系问题探究

下图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：

(1)他向东偏北60o方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？

(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？AEBCD60o45o办公楼实验楼图书馆体育馆120m60m教学楼50m

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.讲授新课1.极坐标系的概念讲授新课1.极坐标系的概念

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序实数对(,)叫做点M的极坐标，记作M(,).

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序实数对(,)叫做点M的极坐标，记作M(,).讲授新课1.极坐标系的概念

一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0，可取任意实数.例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点所在的位置？例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点所在的位置？例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点所在的位置？例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点所在的位置？例2.在图中，用点A，B，C，D，E分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.AEBCD60o45o120m60m50m例2.在图中，用点A，B，C，D，E分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.A(O)EBCD60o45o120m60m50mx小结

极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定＞0，0＜≤2，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(,)表示；同时，极坐标表示的点(,)也是惟一确定的.问题探究1

平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是(,).从下图可以得出它们之间的关系：NxxMOy2.极坐标与直角坐标的互化y

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是(,).从下图可以得出它们之间的关系：NxxyMOy①2.极坐标与直角坐标的互化由①又可得到下面的关系式：2.极坐标与直角坐标的互化NxxyMOy由①又可得到下面的关系式：

这就是极坐标与直角坐标的互化公式.2.极坐标与直角坐标的互化NxxyMOy例3.例4.1.写出图中A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标（＞0，0≤

＜2

）；2.将上面7个点的极坐标化成直角坐标。课堂练习..

简单曲线的极坐标方程

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.复习回顾1.极坐标系的概念

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序实数对(,)叫做点M的极坐标，记作M(,).1.极坐标系的概念

一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0，可取任意实数.复习回顾NxxyMOy2.极坐标与直角坐标的互化复习回顾问题探究1

如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a＞0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件吗？M(,)C(a,0)xAxM(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程

如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a＞0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件吗？

圆经过极点O.设圆和极轴的另一个交点是A，那么|OA|＝2a.设M(,)为圆上除点O，A以外的任意一点，则OM⊥AM.AxM(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程圆经过极点O.设圆和极轴的另一个交点是A，那么|OA|＝2a.设M(,)为圆上除点O，A以外的任意一点，则OM⊥AM.在Rt△AMO中，AxM(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程|OM|＝|OA|cos∠MOA,＝2acos

①

即

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(,)＝0，并且坐标适合方程f(,)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(,)＝0叫做曲线C的极坐标方程.AxM(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程AxM(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程＝2acos

①

①就是圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的极坐标方程.例1.已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？r例1.已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？rxOM让圆心在极坐标原点。=r

问题探究2

如图，直线l经过极点，从极轴到直线l的角是，求直线l的极坐标方程.MOx2.直线的极坐标方程MOxM'射线OM的极坐标方程是射线OM'的极坐标方程是

因此，直线l的方程可以用表示.例2.求过点A(a,0)(a＞0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程.OxA(a,0)M(,)OM=∠AOM=OMcos∠AOM＝OA,

cos

＝aOA=a课堂练习1.说明下列极坐标方程表示什么曲线，并画图.课堂练习2.在坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程.例3.把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状.例3.把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状.课堂练习1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程.2.把下列极坐标方程化为直角坐标方程.课时小结：

总结下列几种曲线的极坐标方程：1.过极点，倾斜角为的直线：2.过A（a，0）点垂直于极轴的直线：3.以极点为圆心，半径为a的圆：4.若,以OA为直径的圆：5.过极点，圆心为的圆:课后作业：特刊2，P41试题汇编312010年：3,40809年：4问题探究

右图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个扇形区域，顺次记为一区，二区……十二区.我们设圆形体育场第一排与体育中心O的距离为300m，每相邻两排的间距为1m，每层看台的高度为0.6m.现在需要确定第九区第三排正中的位置A，如何描述这个位置？

一般地，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点.它在Oxy平面上的射影为Q，用(,)(≥0,0≤＜2)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序实数组(,,z)(z∈R)表示.柱坐标系xyzP(,,z)QzO

这样，我们建立了空间的点与有序实数组(,,z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(,,z)叫做点P的柱坐标，记作P(,,z)，其中≥0，0≤＜2，－∞＜z＜＋∞.柱坐标系xyzP(,,z)Q

柱坐标系又称半极坐标系.zO

空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,,z)之间的变换公式为柱坐标系xyzP(,,z)QO

在航空领域，人们怎样确定航天器的准确位置呢？问题探究

如何建立坐标系，才能方便地的得出r,,的值，并由有序实数组(r,,)找到航天器的具体位置呢？问题探究

如何建立坐标系，才能方便地的得出r,,的值，并由有序实数组(r,,)找到航天器的具体位置呢？

选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立平面极坐标系.问题探究球坐标系

一般地，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r.xyzPO球坐标系

一般地，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r.xyzrOP球坐标系

一般地，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r.OP与Oz正向所夹的角为.xyzrOP

一般地，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r.OP与Oz正向所夹的角为.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.球坐标系xyzrOP

一般地，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r.OP与Oz正向所夹的角为.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.球坐标系xyzrQOP

一般地，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP