2024届山西大同市第一中学高二上数学期末复习检测试题含解析

2024届山西大同市第一中学高二上数学期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，为数列的前项和，，，则数列的公差为（）A. B.C.4 D.2．抛物线准线方程为()A. B.C. D.3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形4．已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）A. B.C. D.15．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A. B.C. D.6．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（）A. B.C. D.7．阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（）A. B.2C. D.8．设椭圆C：的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么的周长的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知函数为偶函数，则在处的切线方程为（）A. B.C. D.10．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝011．若方程表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.12．圆与圆的位置关系是（）A.外离 B.外切C.相交 D.内切二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为­.14．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1:+=1和双曲线C2:-=1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为_________.15．若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.16．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，且___________.（1）求角的大小；（2）已知，，点在边上，且，求线段的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（12分）如图，在正四棱柱中，是上的点，满足为等边三角形.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.19．（12分）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；（3）在线段A1D1上是否存在点M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20．（12分）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉万立方米的森林.设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量.（1）请写出一个递推公式，表示二间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）（可能用到的数据：，，）21．（12分）已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.22．（10分）已知函数在处取得极值确定a的值；若，讨论的单调性

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由已知条件列方程组求解即可【题目详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，故选：A2、D【解题分析】由抛物线的准线方程即可求解【题目详解】由抛物线方程得：．所以，抛物线的准线方程为故选D【题目点拨】本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题3、B【解题分析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出、、的关系，即可判断三角形的形状【题目详解】解：在中，已知，，，分别为角，，的对边），由正弦定理可知：，所以，解得，所以为等边三角形故选：【题目点拨】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题4、A【解题分析】求出圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离，列方程即可求得的值.【题目详解】由圆可得圆心，半径，因为圆上有三个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离，可得：，故选：A.5、B【解题分析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.【题目详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.6、A【解题分析】联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.【题目详解】由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.故选：A.7、C【解题分析】根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，探求点P与直线AB的最大距离即可计算作答.【题目详解】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设，因，则，化简整理得：，因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，当点P到直线(轴)的距离最大时，的面积最大，显然，点P到轴的最大距离为，此时，，所以面积的最大值是故选：C8、A【解题分析】根据椭圆的对称性椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围.【题目详解】的周长，又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点，所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为，则，所以，又因为三点不共线，所以，所以的周长的取值范围为，故选：A.9、A【解题分析】根据函数是偶函数可得，可求出，求出函数在处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程.【题目详解】函数为偶函数，，即，解得，，则，，且，切线方程为，整理得.故选：A.【题目点拨】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用导数求切线方程，属于基础题.10、D【解题分析】设切点为，则切线的斜率为，然后根据条件可得的值，然后可得答案.【题目详解】设切点为，因为，所以切线的斜率为因为曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，所以，即所以l的方程为，即故选：D11、D【解题分析】将方程化为标准式即可.【题目详解】方程化为标准式得，则.故选：D.12、C【解题分析】利用圆心距与半径的关系确定正确选项.【题目详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆心距为，，所以两圆相交.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.14、【解题分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【题目详解】椭圆；双曲线，双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有，所以①，②，根据椭圆的定义由，所以路程.故答案为：15、【解题分析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.【题目详解】，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，当时，的最小值为，所以，故答案为：16、【解题分析】代入，展开整理得，①化为，与①式相加得，转化为关于的方程，求解即可得出结论.【题目详解】因为，所以，所以，因为，所以，则，整理得，解得.故答案为:.【题目点拨】本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，结合二倍角公式，求得，可得答案；若选②，则根据余弦定理和三角形面积公式，将化简，求得，可得答案；若选③，则切化弦，化简可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，进而求得,设，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小问1详解】若选①，则根据正弦定理可得：，由于,，故，则；若选②，则，即，则，而，故；若选③，则，即，则，而，故；【小问2详解】如图示：,故，故,在中，设，则，则，即，解得，或（舍去）故.18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）根据题意证明，，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；（2）结合（1），进而利用等体积法求得答案.【小问1详解】由题意，，为等边三角形，，∵平面ABCD，∴，则，即为中点.连接，∵平面，平面，∴，易得，则，又，于是，即，同理，即，又平面.【小问2详解】设M到平面的距离为d，，∴.易得，取BD的中点N，连接，则，所以，，所以，，.即M到平面的距离为1.19、（1）证明见解析；（2）；（3）不存在；理由见解析【解题分析】（1）连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO，根据判定定理证明四边形AEFO是平行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，求出两个面的法向量，求得两个法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的夹角的余弦值；（3）假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD，设出点M的坐标，由第二问得到平面EFD的一个法向量，判断出和该法向量不平行，故不存在满足题意的点M.【题目详解】（1）证明：连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO因为F是A1C的中点，所以OF∥CD，OF=CD因AE∥CD，AE=CD，所以OF∥AE，OF=AE所以四边形AEFO是平行四边形所以EF∥AO因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1（2）以点A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=，所以B(，0，0)，D(0，2，0)，E，F所以=，=(0，1，1)设平面EFD的法向量为，则即令y=1，则z=-1，x=2所以，由题知，平面DEC的一个法向量为m=(0，0，1)，所以cos<，>==所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是（3）假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD设点M的坐标为(0，t，2)(0≤t≤2)，则=(，t，2)因为平面EFD的一个法向量为，而与不平行，所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM⊥平面EFD20、（1）；（2）.；（3）19万立方米.【解题分析】（1）由题意得到；（2）若递推公式写成，则，再与递推公式比较系数；（3）若实现翻两番的目标，则，根据递推公式，计算的最大值.【题目详解】解：（1）由题意，得，并且.①（2）将化成，②比较①②的系数，得解得所以（1）中的递推公式可以化为.（3）因为，且，所以，由（2）可知，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式：，所以.到2030年底的森林蓄积量为该数列的第10项，即.由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大为19万立方米.【题目点拨】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：

型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；

形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；

形如：的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列，

形如：的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式；

形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.21、（1）（2）证明见解析.【解题分析】（1）由题知，进而结合求解即可得答案；（2）设点，，进而联立并结合题意得或，进而结合韦达定理得，再的中点为，证明，进而得，