浙江名校新2024年数学高二上期末综合测试试题含解析

浙江名校新2024年数学高二上期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，且与互相平行，则的值为（）A.-2 B.C. D.2．在空间直角坐标系中，若，，则（）A. B.C. D.3．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，－=1，则an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-14．设，直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（）A. B.C. D.7．已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（）A B.C. D.8．平行直线：与：之间的距离等于（）A. B.C. D.9．已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．集合，则集合A的子集个数为（）A.2个 B.4个C.8个 D.16个11．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B.C. D.12．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（）①曲线关于坐标原点对称；②曲线是一个椭圆；③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.A.① B.①②C.③ D.①③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥体积为_______14．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.15．椭圆的离心率是______16．等差数列的前项和为，已知，则__.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，（1）证明：平面；（2）求直线平面所成的角的正弦值18．（12分）已知的内角的对边分别为a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的最大值.19．（12分）已知数列中，，且满足（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和20．（12分）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上（1）求圆C的标准方程；（2）过点向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长21．（12分）如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）记,的面积分别为，求的取值范围；（3）若的重心在圆上，求直线的斜率.22．（10分）如图，在直三棱柱中，，，与交于点，为的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】应用空间向量坐标的线性运算求、的坐标，根据空间向量平行有，即可求的值.【题目详解】由题设，，，∵与互相平行，∴且，则，可得.故选：A2、B【解题分析】直接利用空间向量的坐标运算求解.【题目详解】解：因为，，所以.故选：B3、A【解题分析】由题可得，利用与的关系即求.【题目详解】∵a1=1，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴当时，，当时，也适合上式，所以故选：A.4、A【解题分析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【题目详解】若，则，解得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5、C【解题分析】由是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，再根据对应集合的包含关系可得答案.【题目详解】由，即，设,由是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件所以，则故选：C6、D【解题分析】根据向量共面基本定理只需无解即可满足构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.【题目详解】因为，所以A中的向量不能与，构成基底；因为，所以B中的向量不能与，构成基底；对于，设，则，解得，，所以，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.故选：D7、C【解题分析】根据不等式的性质逐一分析即可得出答案.【题目详解】解：对于A，因为a＞b，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若a＞b，又，所以，故C正确；对于D，当时，，故D错误.故选：C.8、B【解题分析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.【题目详解】，则：，即，距离为.故选：B.9、C【解题分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.【题目详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，即“”“数列为单调递增数列”；若等差数列为单调递增数列，则，即“”“数列为单调递增数列”.因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.10、C【解题分析】取，再根据的周期为4，可得，即可得解.【题目详解】因为，所以.时,，时,，时,，时,，所以集合，所以的子集的个数为，故选：C.11、C【解题分析】设直线的倾斜角为，则，解方程即可.【题目详解】由已知，设直线的倾斜角为，则，又，所以.故选：C12、D【解题分析】对于①在方程中换为，换为可判断；对于②分析曲线的图形是两个抛物线的部分组成的可判断；对于③在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线图形的位置关系可判断.【题目详解】在曲线的方程中，换为，换为，方程不变，故曲线关于坐标原点对称所以①正确,当时，曲线的方程化为，此时当时，曲线的方程化为，此时所以曲线图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故②不正确.当，时，设，设，则，（当且仅当或时等号成立）所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线的上方.根据曲线和椭圆的的对称性可得椭圆的图形在曲线的外部（四个顶点在曲线上）所以曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积，故③正确.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】计算，，得到底面，计算，，计算体积得到答案.【题目详解】由，，所以底面，，故，体积为.故答案为：16.14、【解题分析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.【题目详解】解：因为向量，所以，所以故答案为：15、【解题分析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率.【题目详解】在椭圆中，，，，因此，椭圆的离心率是.故答案为：.16、【解题分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.【题目详解】因为等差数列的前项和为，，则，故答案为：33.【题目点拨】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解题分析】（1）由已知条件可得，，则，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，过点作，交直线于点，连接，可证得平面，从而是与平面所成的角，然后在求解即可【题目详解】（1）证明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如图，过点作，交直线于点，连接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是与平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直线与平面所成的角的正弦值是【题目点拨】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点作，交直线于点，连接，然后结合条件可证得是与平面所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题18、（1）（2）6【解题分析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函数恒等变换公可得，从而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合基本不等式可得的最大值为4，从而可求出三角形周长的最大值【小问1详解】由，得

，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.【小问2详解】根据题意，得，由余弦定理，得，即，整理得，当且仅当时，取等号，所以的最大值为所以.所以的周长的最大值为

.19、（1）证明见解析；；（2）.【解题分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可；（2）利用错位相减法即可求和.【小问1详解】由得，，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴，∴；【小问2详解】①，②，①－②得：，.20、（1）（2）或，【解题分析】（1）设圆心，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；（2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可.【小问1详解】设圆心，因为圆心C在直线上，所以①因为A，B是圆上的两点，所以，所以，即②联立①②，解得，所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为【小问2详解】若过点P的切线斜率不存在，则切线方程为若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线方程为，即由，解得，所以切线方程为综上，过点P的圆C的切线方程为或设PC与DE交于点F，因为，，PC垂直平分DE，所以，所以所以21、（1）（2）（3）【解题分析】（1）根据已知条件得到，，即可得到椭圆的方程.（2）首先设直线为，与椭圆联立得到，根据得到的范围，从而得到的范围.（3）设重心，根据重心性质得到，，再代入求解即可.小问1详解】因为左顶点，所以，根据，可得，解得，所以；【小问2详解】设直线为，则，则，，那么，根据解得，所以.【小问3详解】设重心，则：，，所以，所以，即所求直线的斜率为.22、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的