黑龙江省哈尔滨市第八十七中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第八十七中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数是定义在区间(0,+∞)上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】构造函数，对函数求导得到函数的单调性，进而将原不等式转化为，，进而求解.【详解】根据题意，设，则导数；函数在区间上，满足，则有，则有，即函数在区间上为增函数；，则有，解可得：；即不等式的解集为；故选：D．【点睛】这个题目考查了函数的单调性的应用，考查了解不等式的问题；解函数不等式问题，可以直接通过函数的表达式得到结果，如果直接求解比较繁琐，可以研究函数的单调性，零点等问题，将函数值大小问题转化为自变量问题.2.下列关于棱柱的一些叙述正确的有（）①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。Ａ①②；Ｂ①③；Ｃ②③；Ｄ①②③参考答案：D略3.已知△ABC是边长为a的正三角形，那么△ABC平面直观图△A′B′C′的面积为（

）(A)

（B）

(C)

(D)参考答案：A考点：平面图形直观图的画法规则及运用.4.若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则a的值为（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．参考答案：C【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系可得，2为方程ax2+5x﹣2=0的两根然后根据韦达定理求出a的值．【解答】解：∵不等式ax2+5x﹣2＞0的解集为{x|＜x＜2}，∴，2为方程ax2+5x﹣2=0的两根，∴根据韦达定理可得∴×2=﹣∴a=﹣2故选：C．【点评】本题主要考察一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．解题的关键是一元二次不等式与一元二次方程之间的关系的转化与应用．5.设x＞0，y＞0，xy=4，则s=取最小值时x的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】先根据基本不等式得到s=≥2=2再利用条件xy为定值得出s=4，最后结合不等式等号成立的条件即可得到答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，xy=4，∴s=≥2=2=4，当且仅当时，等号成立由，xy=4，得x=y=2．则s=取最小值时x的值为2．故选B．6.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比为（）Ａ．

Ｂ．

C．

D．参考答案：D7.直线l的参数方程为，（t为参数），上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P（a，b）之间的距离为

（）． A．|t1|

B．2|t1|

C．|t1|

D．|t1|参考答案：Ｃ8.把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是()A.60 B.40 C.20 D.10参考答案：C【分析】由题，首先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同，再将剩余的进行排列可得答案.【详解】先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同，有，剩余的3人座位编号都不一致，第一个人有2种坐法，第二第三人都只有一种坐法，所以有2种排法，即共有2×＝20种．故选：C【点睛】本题考查了组合公式与分步计数原理，易错点为当两个相同的确定以后，剩余的排法只有2种，属于较为基础题.9.在正方体ABCD—AlB1C1D1中，P是正方体的底面AlB1C1D1(包括边界)内的一动点(不与A1重合)，Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有

A．1个

B．2个

C．3个

D．无数个参考答案：C略10.四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，则AC1的长为（） A． B．23 C． D．32参考答案：C【考点】棱柱的结构特征． 【专题】计算题． 【分析】记A1在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，求AC1的长． 【解答】解：记A1在面ABCD内的射影为O， ∵∠A1AB=∠A1AD， ∴O在∠BAD的平分线上， 由O向AB，AD两边作垂线，垂足分别为E，F，连接A1E，A1F，A1E，A1F分别垂直AB，AD于E，F ∵AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°， ∴AE=AF= 又四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形 ∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=，可得OA= 在直角三角形A1OA中，由勾股定理得A1O= 过C1作C1M垂直底面于M，则有△C1MC≌△A1OA，由此可得M到直线AD的距离是，M到直线AB的距离是，C1M=A1O= 所以AC1== 故选C． 【点评】本题考查棱柱的结构特征等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．解题关键在于，正确解三角形． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数,且,则实数的取值范围为________参考答案：略12.函数f(x)=loga(a＞0且a≠1),f(2)=3,则f(-2)的值为_________.参考答案：-3∵f(-x)=loga=-loga=-f(x),∴函数为奇函数.∴f(-2)=-f(2)=-3.13.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于_____.参考答案：【分析】先求出甲骰子点数大于4的事件个数，再求出甲、乙两骰子点数和为7时，甲骰子点数大于4的事件个数，结合条件概率的公式，即可求解．【详解】由题意得，为抛掷甲，乙两颗骰子，甲骰子的点数大于4时甲、乙两骰子的点数之和等于7的概率．因为抛掷甲、乙两骰子，甲骰子点数大于4的基本事件有个，甲骰子点数大于4时，甲、乙两骰子的点数之和等于7，基本事件有（5，2），（6，1）共两个，所以，故答案为．【点睛】本题考查了条件概率的求法，属基础题．14.已知双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线方程为，则该双曲线的离心率是▲参考答案：15.已知为正数，且，则的最小值是__________．参考答案：3略16.已知△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，，且△ABC的周长为15，则c=________；若△ABC的面积等于，则cosC=________．参考答案：5

【分析】先由正弦定理，得到；求出；再由题意得到，根据余弦定理，即可求出结果.【详解】由得，又△ABC的周长为，即，所以；若△ABC的面积等于，则，所以，由余弦定理可得.故答案为5,【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.17.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是

。参考答案：试题分析：由三视图判断几何体为半个圆锥，且圆锥的高为2，底面圆的半径为1，∴几何体的体积V=.考点：由三视图求面积、体积．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图（20）所示的平面直角坐标系.(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线与(1)中椭圆只有一个公共点，求直线的方程；

(3)过点P(0,2)的直线交(1)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.参考答案：已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图（20）所示的平面直角坐标系.(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线与(1)中椭圆只有一个公共点，求直线的方程；(3)过点P(0,2)的直线交(1)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

解(1)由题意可得点A,B,C的坐标分别为,,.设椭圆的标准方程是..椭圆的标准方程是(2)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.联立方程:

消去整理得,

当，直线的方程为.（3）可设直线的方程为.设M,N两点的坐标分别为，联立方程:

消去整理得,

当有若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,所以,,

即所以,

即

得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.略19.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案：(1)∵Sn＝2n2，∴a1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，当n＝1时，上式也成立，∴an＝4n－2，n∈N*.∵b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，∴b1＝2，b2＝，又{bn}为等比数列，∴公比q＝，∴bn＝b1qn－1＝2n－1＝(2)由(1)得cn＝＝(2n－1)·4n－1，则Tn＝1·40＋3·41＋5·42＋…＋(2n－3)·4n－2＋(2n－1)·4n－1，4Tn＝1·41＋3·42＋5·43＋…＋(2n－3)·4n－1＋(2n－1)·4n.∴－3Tn＝1＋2[41＋42＋43＋…＋4n－1]－(2n－1)·4n＝1＋－(2n－1)4n＝－－.∴Tn＝＋.20.(本小题满分12分)在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.(1)求，，对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．参考答案：解：(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．(3)S△ABC＝××2＝2.略21.以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以表示.（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求的值;（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;参考答案：（Ⅰ）依题意,得,

解得;

（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件,

依题意,共有10种可能

由（Ⅰ）可知,当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,

所以当时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有8种可能

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率22.在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，左顶点为，上、下顶点分别为．（Ⅰ）若直线经过中点M，求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线的斜率为1，与椭圆的另一交点为D，椭圆的右焦点为，求三角形的面积．参考答案：（Ⅰ）由题意，，

又，所以，直线：．