2021-2022学年安徽省芜湖市第十九中学高三数学文模拟试题含解析

2021-2022学年安徽省芜湖市第十九中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，真命题是(

)

A．存在x<0，使得2x>1

B．对任意x∈R，x2-x+l>0

C．

“x>l”是“x>2”的充分不必要条件

D．“P或q是假命题”是“非p为真命题”的必要而不充分条件参考答案：B2.命题：若，则是的充分不必要条件；命题：函数的定义域是，则A.“p或q”为假

B.“p且q”为真

C.p真q假

D.p假q真参考答案：D3.双曲线中，F2为其右焦点，A1为其左顶点，点B(0，b)在以A1F2为直径的圆上，则此双曲线的离心率为(

)

A．

B．

C.

D．参考答案：D4.设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为

A．B．C．D．参考答案：B5.已知角的终边经过点，则=A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥5参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题设知必存在唯一的正实数a，满足f（x）+logx=a，f（a）=4，f（a）+loga=a，故4+loga=a，loga=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+logx=a=3，由题意可得|logx|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，讨论g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a的单调性和最值，分别画出作出y=|logx|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，通过平移即可得到a的范围．【解答】解：∵定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足f[f（x）+logx]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+logx=a，f（a）=4，①∴f（a）+loga=a，②由①②得：4+loga=a，loga=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+logx=a=3，f（x）=3﹣logx，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，即有|logx|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分别作出y=|logx|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，可得两图象只有一个交点，将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移，至经过点（3，1），有两个交点，由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，当0＜a≤5时，两图象有两个交点，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解．故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．7.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积比为（

）.A. B. C. D.参考答案：C【分析】将已知条件中的转化为，然后然后化简得，由此求得两个三角形高的比值，从而求得面积的比值.【详解】如图，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.【点睛】本小题考查平面向量的线性运算，考查三角形面积的比值的求法，属于基础题.9.设为两个非零向量，则“”是“与共线”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A10.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点P（x0，y0）到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义知a，根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，再用平方关系可算出c=，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义知，2a=8，∴a=4，双曲线两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为×=，即=，又已知双曲线右支上的一点P（x0，y0），∴，∴=，即，∴b=2，∴c==2，则双曲线的离心率为e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是

.参考答案：12.在正中，是上的点，若，则

．参考答案：

考点：向量的数量积.13.已知，则满足不等式的实数的最小值是

．参考答案：1略14.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在[，]内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为．参考答案：【考点】J3：轨迹方程．【分析】过A作BD的垂线AE，则A点轨迹是以E为圆心的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角A﹣BD﹣A′的大小为θ，用θ表示出A和C的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．【解答】解：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，A′E．∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AE=，CE=．∴A点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠A′EA为二面角A﹣BD﹣A′的平面角．以E为原点，以EB，EA′，EA为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，设∠A′EA=θ，则A（0，cosθ，sinθ），C（﹣1，﹣，0）∴AC==，∴，解得0≤cosθ≤，∴60°≤θ≤90°，∴A点轨迹的圆心角为30°，∴A点轨迹的长度为=．故答案为：15.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则?=．参考答案：216.随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量=（m，1），=（2﹣m，﹣4），设X=，则X的数学期望E（X）=

．参考答案：4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算求出X，再根据m的取值求出X的可能取值，得出对应的概率，写出X的分布列与数学期望．【解答】解：向量=（m，1），=（2﹣m，﹣4），∴=+=（2，﹣3），∴X=?=2m﹣3，又m=1，2，3，4，5，6；∴X=﹣1，1，3，5，7，9；且P（X=﹣1）=P（X=1）=P（X=3）=P（X=5）=P（X=7）=P（X=9）=；∴X的分布列为：X﹣113579P数学期望E（X）=（﹣1+1+3+5+7+9）×=4．17.将三项式展开，当时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形：

第0行

1

第1行

111

第2行

12321

第3行

1367631

第4行

14101619161041……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第行共有个数．若在的展开式中，项的系数为75，则实数的值为___________．参考答案：2试题分析：展开式中系数为151530455145301551，所以在的展开式中，项的系数为考点：新定义三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的一动点.记，四边形的面积为.（1）找出与的函数关系；（2）试探求当取何值时，最大，并求出这个最大值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）当且仅当，即时，最大，且最大值为2.试题分析：（Ⅰ）由四边形的面积等于三角形的面积之和即可得出与的函数关系；（Ⅱ）由（1）知，，然后运用两角差的正弦公式即可得出，最后由正弦函数的图像及其性质即可得出取得最大值时的取值.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的图像及其性质.【思路点睛】本题主要考查了三角恒等变换和三角函数的图像及其性质，渗透着转化的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件将四边形的面积划分为三角形的面积之和，进而得出与的函数关系；然后运用三角恒等变换和辅助角公式对其进行求解即可.19.

已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中

抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在之内）作为样本（样

本容量为n）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直

方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础

知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．参考答案：（Ⅰ），，；（Ⅱ）.考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【易错点睛】本题主要考查了频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．20.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，

直线的参数方程为(t为参数)，直线和圆C交于A、B两点，P是圆C上不同于A、B的任意一点.(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值.参考答案：(1);(2).【详解】试题分析：（1）由题意可得圆的直角坐标方程，然后即可得圆的圆心及极坐标；（2）根据题意求得直线的方程，即可得圆心到直线的距离，然后求得的值，再根据数形结合可得到直线的最大距离，即可求出面积的最大值.试题解析：∴圆的圆心为又故圆心极坐标为⑵易知直线为，圆心到直线的距离∴∵由几何图形可知到直线的最大距离为∴面积的最大值为21.（本小题满分14分）设等比数列{}的前n项和为Sn，已知。（1）求数列{}的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为d的等差数列。（I）在数列{}中是否存在三项（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由；（II）求证：参考答案：试题解析：解：（1）由,可得：,两式相减：.

………………2分又,因为数列是等比数列，所以，故.所以

.

………………4分…………13分.

………………14分考点：等比数列通项，错位相减法求和.22.本小题满分13分）

如图，正三棱柱中，D是BC的中点，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.参考答案：（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，

∴B