2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第33讲怎样求几何体的表面积和体积含解析

Page1第33讲怎样求几何体的表面积和体积一、知识与方法1柱.雉、台和球的侧面积和体积侧面积体积圆柱 圆雉为母线 侧面积体积圆台为母线直棱柱正棱锥正棱台球2几何体的表面积一一各面面积之和（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积等于侧面积与底面积之和.（2）圆柱、圆雉、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.二、典型例题【例1】(1)如图所示,有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为,用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则的取值范围是_-(2)如图所示,在中,,若平面外的点和线段上的点,满足,则四面体的体积的最大值是．【分析】第(1)问是关于多面体的拼接问题.要注意考虑多种可能的情况.因为三棱柱的表面积为定值,当拼接为四棱柱时,要达到全面积最小,则需把两侧面面积最大的接合即得.第(2)问,题图本身是四面体,解题的要点在于将目标四面体的体积表示为关于变量(设的函数,求函数的最大值.解:(1)底面积为,侧面面积分别为拼成三棱柱时有三种情况:拼成四棱柱时有一种:全面积为,由题意得(2)如图可知,这个四面体是由平面沿折叠而成,故当平面平面时体积最大.设中边上的高为,则必有.故当底面时面积最大.由余弦定理知又,当且仅当,即时,该四面体的体积最大,最大值为.【例2】如图所示,已知正三棱雉的侧面是直角三角形,,顶点在平面内的正投影为点,在平面内的正投影为,联结并延长交于点.(1)求证:是的中点;(2)作出点在平面内的正投影（说明作法及理由）,并求四面体的体积.【分析】本题其实不难,第(1)问,欲证是的中点,只需证明.第(2)问,利用三棱锥的体积公式求解四面体的体积,但是由于对条件“正三棱锥”的侧面是直角三角形且两次出现了点在平面上正投影的概念.如果空间想象能力缺乏,解题会碰到困难.宋际上本题的图形背景是长方体,是将长方体截下一个角块这个四面体.如果借助长方体这个大背景,许多有用的信息可以使解题者一目了然,比如:它的三条侧棱两两互相垂直;它的三个直角侧面也两两互相垂直;它的三对异面棱即互相垂直.这些信息会给解题带末方便.在平面内的正投影为平面.故又由已知,可得是的中点.证法二由条件知平面,且平面,因此,可确定平面,平面平面平面,且为正三角形的中心.为的垂直平分线,即为的中点.(2)【解法】如图所示,在平面内,过点作的平行线交于点即为在平面内的正投影.理由如下:由已知可得,又,因此平面,即点为在平面内的正投影.连接在平面内的正投影为是正三角形的中心.由知,是的中点,,在上,,由题设可得平面平面.,因此.由已知,正三棱雉的侧面是直角三角形且,可得.在等腰直角三角形中,可得.四面体的体积.【解法二】由条件知平面平面在平面内,作于点,则平面,即为点在平面内的投影,如图所示.已知直角四面体中,,取中点,联结,则.【解法三】在中,为的三等分点,且, 【例3】（1）三棱锥中,一条棱长为,其余棱长均为1,求为何值时最大?并求最大值.(2)已知圆锥轴截面的顶点为,母线长为,过顶点的截面交底面于,求截面三角形的最大值.【分析】求几何体体积的最值应结合图形找到引起体积变化的元素,求表面积或截面面积最值也如此.苐(1)问,若以(见图,其中为在底面的射影)为变角,若取的中点,则可通过的直截面面积).则可转化为关于的目标函数的最大值问题.第(2)问,过圆锥顶点的截面是等腰三角形.求最值显然要对顶角的范国分类讨论.【解析】(1)如图所示.设,其余棱长均为取的中点,联结,则平面SHC.当且仅当,即时,三棱雉的体积最大.(2)如图所示,设圆雉的轴截面是,截面是等腰三解形,.截面面积是的函数,要求截面面积的最大值,须确定也即的取值范围.是底面圆的直径,. 三、易错警示【例】正四棱柱的对角线与底面成,过底面中心作于点,求过点的截面将棱柱分成两部分的体积之比.【错解】如图所示,截面为.设底面边长为1,则.正四棱柱的高.则.,于是.则.从而得.因此,过点的截面将棱柱分成两部分的体积之比为.【评析及正解】解答本题的关键一步是正确作出所求的截面,而不能随意画出一个截面,想当然认为这个㵶面一定是一个三角形,上述错解中求出.而.显然有.这表明截面与棱的交点在棱的延长线上,所以截面不是三角形,而是等腰栻形.解答数学问题,一时有误并不要紧,而是要在解题过程中纠正错误的判断,不断向正确的结果靠拢.正确的解法如下：【解析】如图所示,截面是等腰梯形.由上述解法,得,则由棱台体积公式,得于是可得.,因此,过的截面将棱柱分成两部分的体积的比为.四、难题攻略【例】四面体的6条棱中,有5条棱长都等于.（1）求该四面体体积的最大值;（2）当四面体的体积最大时,求其表面积.）破难析疑显然余留的一棱为变量,作出变棱为高的直截面,则.,求此函数的最值.【解析】如图所示,在四面体中,设取的中点为的中点为,联结,由平面可得当且仅当,即时,的最大值为.(2)由知.五、强化训练1.如图所示,中,.在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上,半圆与分