2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第04讲怎样用向量法解平面几何问题含解析

Page1第04讲怎样用向量法解平面几何问题一、知识与方法平面向量在平面几何中的应用主要体现在:利用可以求线段的长度,利用为与的夹角)可以求角,利用可以证明垂直,利用可以判定平行或重合(向量关系与几何关系并不完全相同,如并不能说明,也可能共线).运用向量法解平面几何问题,一般需要灵活运用向量的运算法则和运算律,将已知条件向所求向量转化,利用性质判断向量间的关系,从而得到结论.特别地,还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,然后计算或证明.还应指出的是以向量为载体考查三角形的“四心”(重心、垂心、外心、心)的试题频频出现,这是高考命题的一个热点,必须引起重视.二、典型例题例1(1)如图所示,求证的3条高交于一点；（2）外心为,垂心为,重心为求证:三点共线,且.【分析】第(1)问,三角形三条高线交于一点,是一个极为基础的平面几何命题,用纯向量方法或坐标向量法证明,可体现向量的优越性.第(2)问。题中所给出的O,G,G,H所在直线称办拉线,证明的过程是对图形进行研究并通过向【证明】:【证法1】设点为内一点,令,。设,则.即,即.,即点为三条高的交点,交于一点.【证法2】分别以所在的直线为轴和轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设的边上的高相交于点,并设,而,故的三条高相交于一点.(2)设交外接圆于另一点,联结后得,又又为平行四边形,.即与共线,即三点共线,且例2.如图所示,在中,,点是边上靠近点的一个三等分点.试问在线段上是否存在点使【分析】本题是运用向量法解决平面几何问题的典型问题,其特征是以数喻形，合理利用向量法解决平面几何问题的前提是必须建立平面直角坐标系，并熟练的掌握向量的加減法运算、数乘运算的几何意义以及两个向量之间的位置关系的一些重要结论并且灵活地运用它们。【解析】以为原点,所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,,则(0,已知点是边上靠近点的一个三等分点,若上存在点使得,则,且目即 由于,即,解得。由于在线段上不存在点使得.例3.已知满足条件求证:是正三角形.【分析】数形结合，证之不难【解析】 【证法1】令为坐标原点建立直角坐标系,可设, 得由此可知的最小正角为，即的夹角为，同理可得的夹角为，的夹角为，可知，3点均匀分布在一个单位圆上，。【证法2】 同理可得.是正三角形.三、易错警示例1．在中,已知,且为直角三角形,求实数的值.错解:为直角三角形,,.又.,从而,解得.【评析及正解】上述解法凭直觉认为某个角是直角,从而忽视对各种情况的讨论,导致㴜解.正确的解法如下：【解析】由于为直角三角形,但却不知道那个角为直角,故需分3类讨论:(1)若,即,故,从而,解得,(2)若,即,也就是.而,故,解得;(3)若,即,也就是.而,故,解得.综合上面讨论可知,或或.四、难题攻略例.如图所示.在平行四边形的和边上分别取和两点,使得,设与求证:平分.【分析】本例用向量法解决,好处是入手容易,无须多想,列出式子后,直奔结果而去,具有赏析价值.【证明】设和的单位向量为和,则,于是两式联立解得平分强化训练如图所示,四边形是正方形,是对角线上的一点,是矩形,试用向量法证明:(1);(2).【解析】证明:(1)以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示.设正方形的边长为,则.于是,,,即.,即.如图所示,已知的面积为分别为,上的点,且,求的面积.【解析】设为一组基底,则.点和点分别共线,存在和使得又由平面向荲的基本定理得的面积为的面积的面积的面积.(1)如图所示,已知点是的重心,过点作直线与两边分别交于两点,且,则的值为( )A.3 B. C.2 D.（2）已知正方形分别是的中点,交于点.求证:;(2).【解析】(1)【解法一】为的重心,,又三点共线,两式消去参数,得,故选B.【解法二】(