2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第19讲轨迹方程的探求含解析

Page1第19讲轨迹方程的探求——几何法、参数法、交轨法一、知识与方法常见求轨迹方程的方法归纳（1）几何法.认真分析动点运动的变化规律,可以发现图形明显的几何特征,利用有关平面几何或解析几何的知识将动点运动的变化规律与动点满足的条件有机联系起来,再利用直接法得到动点的轨迹方程,称为几何法.(2)参数法.若动点运动变化情况较为复杂,动点的横纵坐标之间的等量关系式难以尽快找到,可以适当引人参数(一个或多个中间变量),通过所设参数沟通动点横纵坐标之间的联系,从而得到轨迹的参数方程,进而消去所设参数得出轨迹的(普通)方程,称为参数法.(3)交轨法.若所求轨迹可以看成是某两条曲线(包括直线)的交点轨迹时,可由方程(组)直接消去参数,地可引人参数来建立这两条动曲线之间的联系,再消参而得到轨迹方程,称为交轨法.实质上交轨法可以看作参数法的一种特殊情况.二、典型例题【例1】(1)解方程:;(2)求函数的最大值;(3)已知直角坐标平面上点和圆,动点到圆的切线长与的比等于常数,求动点的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.线【分析】本例三小题中前两题并非轨迹题，如果直接解方程或求无理函数的最值都相当困难.如果通过构造几何图形找到相应的轨迹方程,则问题可以迅速获解.第(3)问求动点的轨迹方程,构造与点相关的几何图形,找到等量关系,就可用直接法求解,这其中几何图形的寻找是关键.【解析】（1）原方程可以等价变形为.令,则有.设,则有,点的轨迹为以,为焦点的双曲线左支.,于是构造了双曲线:.与联立解得.(2)将给定的函数表达式变形为,问题转化为求点到点与距离之差的最大值.而点的轨迹为抛物线,如图所示,由的位置知直线必交抛物线于第二象限的一点,由三角形两边之差小于第三边可知位于时,才能取到最大值.最大值(3)如图所示.设直线切圆于点,则动点组成的集合是.∵圆的半径.∴.设点的坐标为,则整理得.讨论如下：(1)当时,方程化为,它表示一条直线,该直线与轴垂直,交轴于点(2)当时,方程化为,它表示圆心在,半径为的圆.【例2】（1）已知圆,点内接于圆,且,当在圆上运动时,中点的轨迹方程为;(2)已知抛物线,过顶点的两弦互相垂直,则分别以,为直径的两圆的另一交点的轨迹方程为【分析】第(1)问,由于两点在圆上运动,可以利用圆的参数方程,结合三角函数知识求解,由于的运动受到范围的制约,在消去参数时必须把的取值苊围确定下来.第(2)问,运用参数法求轨迹方程,如何选择参数,方法并不单一,根据参数的不同选择可以有多种解题方法.【解析】(1)由于两点在圆上,可设点,点.∵,且,设线段中点为,由中点坐标公式得,由于,则①同理,.②可得.∵,则,即.综上所述,线段中点的轨迹方程为.(2)解法二选择直线斜率为参数,的方程,代入,可解得,则以为直径的圆的方程为.同理,以代替,可得以为直径的圆的方程为.两式相加可得,故所求轨迹方程为.解法二选择点的坐标为参数,并设直线的方程为由,得,由得消去得,故，由得.故.将代入化简可得即为所求.解法三选择点的纵坐标为参数,设.①又，由直线的方程为.③将①②代入③整理消去参数,可得,当时,可得也适合上述方程.又∵不能与原点重合,故.故所求轨迹方程为.【例3】求两直线的交点轨迹方程.【分析】解答本题的关键是审题要细致,运用交轨法求轨迹方程不是单纯地消去参数就可以了,寻找两直线的特征,可以发现与各过定点,而且还可以发现,从而为运用向量知识求解创设了条件,进一步分析,可以发现,又为轨迹中去掉某些点提供了依据,否则,不能保证轨的方程的对应关系.此外,在使用直线的斜率时,还要考虑斜率不存在的情况,使解题过程严密.这是轨迹探求题中不能疏忽的地方.【解析】∵直线过定点,直线过定点.当时,它们的斜率分别为,，设为与的交点.则.∵,即,故,于是有,化简，得.又,故与的交点不能是.否则,若是与的交点,则,此时直线即为直线,其斜率,这与矛盾.当时,易知与的交点为,也适合方程.故所求的轨迹方程为.三、易错警示【例】已知两点以及一条直线.设长为的线段在直线上移动.如图所示.求直线和的交点的轨迹方程(要求把结果写成普通方程).【错解】设所在直线的斜率为（由题设知）,则所在直线方程为.①解方程组得点横坐标.设所在直线的斜率为(由题设知,则所在直线方程为.由方程组解得点的横坐标.由,且在直线上,∴.即.解得.代入①,得所在直线方程为.∵点是所在直线与所在直线的交点,∴的轨迹方程为由③得,代入②,得点的轨迹方程为.【评析与正解】上述解法中,对线段的长度与线段两猯点坐标的关系不够清楚,忽视了点在点左侧,应有,而由得出了错误的结论,导致后面一错再错.正确的解法补充如下：【解析】由,根据题意得,即,∴可解得,代入①得所在直线方程为,∵是所在直线与所在直线的交点,点的坐标满足这两直线方程,∴点的轨迹方程为消去得点的轨迹方程为.四、难题攻略【例】已知抛物线的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.(1)若在线段上,是的中点,证明;(2)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.【分析】第（1)问,设出直线的方程,然后结合扏物线的方程分别表示出的坐标,然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果.第(2)问,可以设与轴的交点,即引进坐标参数,根据面积关系确定出的值,然后设出满足条件的的中点,分情况讨论即可得到中点的轨线方程,还可以用点差法求解.【解析】(1)证明:由题设,设.则,且记过两点的直线为,则的方程为.由于在线段上,故.设的斜率为的斜率为,则.∴（2）解法二设与轴的交点为则，由题设可得（舍去），.设满足条件的的中点为,当与轴不垂直时,由可得,而,∴当与轴垂直时,与重合,即满足.∴所求轨迹方程为.解法二由解法一知恒过定点,设中点.又两式相减得.当不垂直于轴时,,即.从而的方程为,代入得.当与轴垂直时,中点为,满足.综上所述,中点的轨迹方程为.五、强化训练1.已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段曲线与线段所围成的平面区域（含边界)为,设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程.【解析】由得设，由题意得①点是上的任意一点，且点与点和点均不重合．②将①式代人②式并化简得：，这就是所求的点的轨迹方程2.设分别是双曲线的左、右焦点.(1)当,点在双曲线上,且时,求双曲线的方程;(2)已知双曲线具有如下性质:若直线交双曲线于点,点