新人教版八年级下册初中数学全册教案

第十六章二次根式

16.1二次根式

课时1二次根式的概念及其有意义的条件

【知识与技能】

理解二次根式的概念，并利用G（〃20）的意义解答具体题目.

【过程与方法】

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

【情感态度与价值观】

通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展

学生观察、分析、发现问题的能力.

形如G（。20）的式子叫做二次根式的概念.

利用“八（。20）”解决具体问题.

OS©

多媒体课件.

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1:已知反比例函数产上，那么它的图象在第一象限，横、纵坐标相等的

X

点的坐标是.

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么

AB边的长是.

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y,所以_?=3.因为点在第一象限，所以

x=6,所以所求点的坐标（G，G）.

问题2：由勾股定理得AB=Jid.

很明显6、Vio,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方

根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如G（。20）的

式子叫做二次根式，“，”称为二次根号.

议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？

3.当a<0,6有意义吗？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：血、不、L、G

X

（x>0）、&、y/2、-^2、--—、Jx+y（x20,y20）.

x+y

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“丁”；第二，被开方

数是正数或0.

解：二次根式有：3、G（x>o）、&、-04^+y（x»°，y》o）；

不是二次根式的有：我、蚯、—.

xx+y

例2.当X是多少时，后万在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以

0,才能有意义.

解：由34120,得

3

当时，7^二1在实数范围内有意义.

3

三、应用拓展

例3.当x是多少时，J2X+3+」■-在实数范围内有意义?

X+1

分析：要使国行+」一在实数范围内有意义，必须同时满足7^^中的

X+1

2x+3和一1-中的x+1W0.

x+1

2x+3>0

解：依题意，得

x+1w0

4

由①得：龙2-乙

2

由②得：xW-1.

a_____i

当且xW-l时，J2X+3+」一在实数范围内有意义.

2x+1

例4⑴已知y=j2-x+Jx-2+5,求上的值.（答案:2）

y5

⑵若而T+g=0,求次。叫产18的值.（答案⑵

本节课要掌握：

I.形如G（。20）的式子叫做二次根式，称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

16.1二次根式（1）

情境引入例2学生板演

二次根式的定义例3

例1例4小结

一、选择题

1.下列式子，是二次根式的是（）

A.-、/7B.i/1C.VxD.x

2.下列式子，不是二次根式的是（）

A.V4B.y/16C.78D.-

X

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）

A.5B.6C.-D.以上皆不对

5

二、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面积为。的正方形的边长为.

3.负数平方根.

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为In?的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需

要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

2.当x是多少时，叵巨+/在实数范围内有意义？

X

3.若,3-x+Jx-3有意义，则.

4.使式子J-（x-55有意义的未知数尤有（）个.

A.0B.1C.2D.无数

5.已知a、人为实数，且Ja-5+2J10-2a=Z?+4,求a、Z?的值.

答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.yfa（心0）2.4a3.没有

三、1.设底面边长为x,则OZfn,解得：x=#）.

3

2x+3>0x>——

2.依题意得:2

X。0

xwO

当x>-—且xWO时,匕二十f在实数范围内没有意义.

2x

3.-4.B5.(7=5,b=-4

3

第十六章二次根式

16.1二次根式

课时2二次根式的性质

【知识与技能】

理解&（a2O）是一个非负数和（&）2=a（a20）,并利用它们进行计算和

化简.

【过程与方法】

复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出夜（。20）是一个非负数，用具

体数据结合算术平方根的意义导出（&）2=。（.20）；最后运用结论严谨解

题.

【情感态度与价值观】

通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展

学生观察、分析、发现问题的能力.

八（.20）是一个非负数；（G）2=。（°20）及其运用.

用分类思想的方法导出右（。20）是一个非负数；用探究的方法导出（右）

2=a（心0）

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一、复习引入

（学生活动）口答

1.什么叫二次根式？

2.当“20时，G叫什么？当。＜0时，后有意义吗？

老师点评（略）.

议一议：4a（a20）是一个什么数呢？

老师点评：

八（。—0）是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（＞/?）2=；（夜）2=；（囱）2=；（G）

2=_______,.

（"=——；*）、-------；（C）2=-------•

老师点评：”是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，”是一个平方

等于4的非负数，因此有（"）2=4.

同理可得：(0)2=2,(囱)2=9,(6)2=3,(g)2=g,(Jg)

2=L,(Vo)2=0,所以

2

(右)2=a(a，0)

例1、计算

1.(^|)22.(375)23.(J1)24.(当)2

分析：我们可以直接利用（6）--a（a20）的结论解题.

解：(E)2=3，(3石)2=32•(石)2=32•5=45,

V22

昌"（立…埠

V662224

三、巩固练习

计算下列各式的值：

展『-(5四

四、应用拓展

例2、计算

1.(y/x+l)2(x20)2.()23.(4/+2.+1)2

4.(12X+9)2

2

分析：(1)因为九20,所以x+l>0；(2)/NO；(3)a+2a+l=(tz+1)

20；

(4)4P12JC+9=(2X)2-2•2x-3+32=(2r-3)2^0.

所以上面的4题都可以运用(«)2=a(a2o)的重要结论解题.

解：(1)因为x»0,所以x+l>0,

(y/x+l)2=X+1.

(2)Vtz2^O,)2=cr.

(3)*/a1+2a+1=(a+1)2,(Q+1)20,，a2^-2a+\>0,/.

J/+24+1=/+2a+1.

(4)・・・4/-12x+9=⑵)2-2•2x•3+32=(2x-3)2,(2x-3)2^0,

/.4X2-12X+9^:0,・'・(yj4x2-12x4-9)2=4x2-12x+9.

例3、在实数范围内分解下列因式：

(1)x2-3(2)X4-4(3)2^-3

分析：(略)

本节课应掌握：

1.4a(a20)是一个非负数；

2.()2=a(a20);反之:a=(Va)2(a20).

4g®®®

16.1.二次根式(2)

情境引入例1学生板演

1.4a(a20)是一个非负数；例2

2.(\[ci)--a(aNO);

反之:。=(\[a)2(。，0).例3小结

®g®®

一、选择题

1.下列各式中屏、扃、加一T、y]a2+b2.+20、J—144,二次

根式的个数是().

A.4B.3C.2D.1

2.数。没有算术平方根，则。的取值范围是().

A.a>QB.a20C.a<0D.a=0

二、填空题

1.(-G)2=3.

2.已知有意义，那么是一个数.

三、综合提高题

1.计算

(1)(囱)2(2)-(6)2(3)(-V6)2⑷TI

2

(5)(273+372)(273-35/2)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(40)

6

3.已知Jx-y+1+Jx-3=0,求炉的值.

4.在实数范围内分解下列因式：

(1)x2-2(2)X4-9(3)3》-5

答案：一、1.B2.C

二、1.32.非负数

三、1.(1)(%)2=9(2)-(V3)2=-3(3)(176)2=-X6=-

242

(4)=9X|=6(5)-6

2.(1)5=(石尸(2)3.4=(V14)2；(3)-=(J-)2;(4)4

6\6

(Vx)2(%，0)

x—y+l=0x=3

3.<v炉=34=81

x-3=0[y=4

4.(1)/-2=(x+>/2)(x-V2)

(2)x4-9=(f+3)(X2-3)=(f+3)(x+6)(x-^3)

(3)略

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第十六章二次根式

16.2二次根式的乘除

课时1二次根式的乘法

【知识与技能】

1.理解G•网=(a>0»h>0),\[ab=4a-4b(a>0,/?>0),并利用它

们进行计算和化简.

2.利用逆向思维疝=&.血(£/>0,/7>0)并运用它进行解题和化简.

3.法则可以推广到多个二次根式相乘的运算.

【过程与方法】

1.学生在探索过程中，学会观察、分析、总结归纳，学会思考问题，进一步培

养学生观察能力、归纳概括的能力.

2.通过二次根式的乘法运算，提高学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

1.学生通过分析、总结、归纳学会二次根式的乘除运算，并能灵活运算，感受

成功.

2.体验数学探究学习活动充满着好奇与创造，并懂得在探究学习活动中学会与

他人合作交流，培养学生求实创新和集体协作的精神.

理解G•扬=A/^(a>0,b>0),\[ai>=4a-4b(a>O,b>Q)并运用它进

行计算.

\[a-4b=4ab(a>0,b>0)的相关计算.

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(一)知识回顾

1、你认为什么样的式子是二次根式?试举一例

2、二次根式有哪些基本性质？

(二)情境引入

1.­•个长方形的长是后cm,宽是巫"cm,这个长方形的面积是多少？

解：长方形的面积为小xjl?，加

思考：这个结果能否化简？如何化简？

(三)探索新知

计算：(1)716xV9=716x9=

(2)74xJ—4x—=

V4949

上述结果具有什么规律？利用规律进行计算

⑴0x百=⑵忘近=

思考：Ji)x(-9)=Cx"是否成立?

归纳：一般地，对二次根式的乘法规定为

4a-\[h=\[ab.(a>(),/?>0)

文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.

推广：4a-4b-■-4k=\/a-b---k(a>0,b>0....k>0)

解决问题76X73=76^3=372

(四)例题讲解

例1.计算

Q)超x亚(2)GxJ12(3)J1xV27

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二次根式的乘法法则石•扬=疝(生0,Z?>0),

反过来，可以得到J益=6•斯(«>0,h>0)

文字叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

利用这个等式可以化简一些根式.

例2.化简

(1)74x121(2)722X42X8(3)J(-2)x(-8)

注意根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式

1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根

4a-4b=4ab(a>0,b>0),

\[ab=4ci-yjb(a>0,Z?>0)

2.化简二次根式的步骤：

(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.

(2)应用公式G•班=/石(tz>0,b>0),

(3)将平方项应用二次根式的性质化简.

♦

16.2.1二次根式的乘法

一、二次根式的乘法法则：4a-4b=4ab(a>0,Z?>0)

反过来，可以得到&石=G•柩(a>0,b>0)

二.化简二次根式的步骤：

(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.

(2)应用公式&i.亚=dj(e0,匠0),

(3)将平方项应用二次根式的性质化简.

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1.将化简，正确的结果是()

A.6五B.±60C.3际D.±3我

2.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是()

A.Qcr-T—\/(2—1•Ja+1

B.J(a+6)2-a+6

C.J(-16>(-a)=-A\[-a

D.J25a4=5下

3.下列计算中，正确的是()

A.(2扃=2x3=6

B.立=4=2

2

C.J(_9)x(_4)=屈=6

D.的+16=囱+旧

4.设a=J^,》=J5,用含a、〃的式子表示.

5.对于任意不相等的两个实a、b,定义运算※如下：。※6='亘，那么

a-b

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6X12=

6.若V?=4,〃=5,且。〃<(),贝必一匕=_

7计算

⑴nxV15xVn);(2)5712X4>/27

7.如何比较-7后和-6万的大小？

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第十六章二次根式

16.2二次根式的乘除

课时2二次根式的除法

【知识与技能】

理解那（«>0,匕>0）和虚卷（«>0,/7>0）及利用它们进行运算.

2.掌握最简二次根式，及二次根式的乘除法的混合运算.

【过程与方法】

1.学生在探索过程中，学会观察、分析、总结归纳，学会思考问题，进一步培

养学生观察能力、归纳概括的能力.

2.通过二次根式的除法运算和乘除混合运算，提高学生分析问题、解决问题的

能力.

【情感态度与价值观】

I.学生通过分析、总结、归纳学会二次根式的乘除运算，并能灵活运算，感受

成功.

2.体验数学探究学习活动充满着好奇与创造，并懂得在探究学习活动中学会与

他人合作交流，培养学生求实创新和集体协作的精神.

（«>0,8>0）及利用它们进行计算和化

_yfa

理解(«>0,Z?>0),（色0,b>0）及利用它们进行计算和化

简.

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（一）知识回顾

1、二次根式有哪些基本性质？

2、二次根式的乘法法则是什么？

（二）探究新知

1.化简二次根式:

计算上述各式，你有什么新的发现？

根据你所发现的规律，利用规律填空:

一般地，对二次根式的除法规定为

g聆"…）

文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.

（三）尝试应用

1.计算⑴率

二次根式的除法法则（〃K）,/?>0），

[a_y[a

反过来,可以得到（应0,b>0）,

文字叙述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.

2•化简：⑴扁⑵牌

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注意根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。

3.化简:

注意：在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式

归纳：什么是最简二次根式？

1、被开方数不含分母；

2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（四）能力拓展

计算:后x；旧一旧

\[a_[a

1.二次根式的除法法则:(a>0,b>0)

算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。

[a_4a

2.二次根式的除法法则的逆用:(a>0,b>0)

商的算术平方根等于被除式与除式的算术平方根的商。

3.最简二次根式需要满足哪些条件？

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

<®@©

y/a_[a

二次根式的除法法则:(<7>0,h>0)

算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。

[a_\[a

二次根式的除法法则的逆用:(fl>0,。>0)

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商的算术平方根等于被除式与除式的算术平方根的商。

三、最简二次根式：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

1.下列计算正确的是()

A.3A/3-V3+2V3=4B.5&+&=10C.(7^2y=-2D.2+后=血

2.计算当匹的结果是.

且好的结果是.

3.计算

V2

(x〉0)；⑵居y(x>0)；(3)0.09义169

0.64x196

⑴舟后⑵国十店

6.计算:

7.化简下列各式:

八、"6/7.

V9a'

h>0,c>0)；

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第十六章二次根式

16.3二次根式的加减

课时1二次根式的加减

【知识与技能】

理解和掌握二次根式加减的方法.

【过程与方法】

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理

解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.

【情感态度与价值观】

通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展

学生观察、分析、发现问题的能力.

二次根式化简为最简根式.

会判定是否是最简二次根式.

<g@0

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一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5A2；(3)x+2x+3y；(4)3«2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项

合并就是字母不变，系数相加减.

二、探索新知

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学生活动：计算下列各式.

(1)2V2+3V2(2)2限-3瓜+5瓜

(3)V7+2V7+^/977⑷36-2G+&

老师点评：

(1)如果我们把血当成x,不就转化为上面的问题吗？

2五+3应=(2+3)0=5垃

(2)把我当成y；

2瓜-3册+5瓜=(2-3+5)瓜=4a=80

(3)把后当成z；

V7+277+也近

=币+2币+3币=(1+2+3)币=6币

(4)百看为x,也看为y.

3V3-2V3+V2

=(3-2)也+垃

--\/3+>/2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如3血与血表面上看是不

相同的，但它们可以合并吗？可以的.

372+^=372+272=572

373+727=373+373=673

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方

数相同的二次根式进行合并.

例1.计算：(1)般+屈(2)V16x+>/64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相

同的最简二次根式进行合并.

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解：(1)瓜+屈=2丘+3也=(2+3)夜=5夜.

(2)J16x+J64x=4石+84=(4+8)&=12«.

例2.计算：(1)3屈-9A+3/；(2)(V48+V20)+(V12-

y[5).

解：(1)3A-9』+3旧=126-36+66=(12-3+6)73=1573.

(2)(^+^20)+(V12-V5)=748+720+712-75

=4百+2石+2百-6=6百+6.

4.应用拓展：

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(g+y?)-(f'-5xJ)的

值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(缄-1)2+

(y-3)2=0,即％=；,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最

简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

尤+l+y2-6y+9=0

・\(2x-1)2+(y-3)2=0

•.冗=5，y=3.

原式专回+y2杼嘿+5#

=2xy/x+y[xy-x\/x+5y[xy

=xy/x

当x=L，y=3时，

2

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原式=LXF+6，B=-^+3&.

2V2V24

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同

的最简二次根式进行合并.

16.3.二次根式的加减（1）

情境引入例2学生板演

二次根式的加减法则例3

例1练习小结

®g©©

一、选择题

1.以下二次根式：①如；②生;③J|；④后中，与百是同类二次

根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=6下I；②_L疗=1；③垃+瓜=瓜=2母;④

7

普=2夜，其中错误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题:

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1.在瓜、-V75a.马廊、V125>26/、3斤、-2」、中,与

33aV8

用是同类二次根式的有.

2.计算二次根式56-36-76+9北的最后结果是.

三、综合提高题：

1.已知出-2.236,求（两-Jg）-（^31+|745）的值.（结果精确

至U0.01）

2.先化简，再求值.

（6x后+—J町3）-（4xJ+y/36xy）,其中x=g,y=27.

答案:一、1.C2.A

二、1.-y[75a-y/3^2.6>Jb-2y[a

3a

三、1.原式=4后-36-土石-乜斯=1石七LX2.236=0.45.

55555

2.IM5^=6y[xy+3yfxy-（45y6A/^）=（6+3-4-6）\[xy=-\[xy，

当4g,y=27时，原式二-J^x27=・1■友.

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第十六章二次根式

16.3二次根式的加减

课时2二次根式的混合运算

【知识与技能】

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多

项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用.

【过程与方法】

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运

算.

【情感态度与价值观】

通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发

展学生观察、分析、发现问题的能力.

二次根式的乘除、乘方等运算规律；

由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

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一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题：

1.计算

(1)(2x+y)•zx(2)(2x2y+3xy2)9xy

2.计算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(lx-1)2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)•单项

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式X单项式；(2)单项式X多项式；(3)多项式♦单项式；(4)完全平方公

式；(5)平方差公式的运用.

二、探索新知

如果把上面的小y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？・

仍成立.

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一

切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.

例L计算：

(1)(V6+V8)X73(2)(4卡-3向+2夜

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整

式的运算规律.

解：(1)(指+&)X百="义G+&X&

=718+724=372+276

(2)(476-372)+20=4指+2夜-3四+2逝

=2y/3--

2

例2.计算：

(1)(V5+6)(3-6)(2)(V10+V7)(V10-V7)

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘多项式运算在乘法公式运算中仍

然成立.

解：(1)(V5+6)(3-V5)

=3石-(石)2+18-675

=13-3后

(2)(V10+V7)(V10-V7)=(Vio)2-(V7)2

=10-7=3

三、应用拓展

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例3.已知上a=2-七区,其中a、是实数，且a+bWO,

ab

x/x+1~4xJx+1+y/x

化简+并求值.

y/x+l+Jxyjx+l—y/x

分析：由于（Gi+石）（GR-石）=1,因此对代数式的化简，可先

将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到X的值，代入化简

得结果即可.

(JX+1-J^)~I(>/x+1+J^)~

------------+------------

(x+1)—X(X+1)—X

=(x+1)+x-21x(x+1)+x+2Jx(x+1)

=4x+2

・・x-bx-a

.----=2-----

ah

.*.b(x-b)=2ab-a(x-a)

.*•bx-b2=2ab-ajc+cr

「・(〃+b)x=a2-^-2ab+b2

J(a+b)x=(a+b)2

•/a+b?。

.••4a+b

・••原式=4x+2=4(a+b)+2

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.

■O@©

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16.3.二次根式的加减（2）

情境引入例2学生板演

二次根式的加减法则例3

例1练习小结

一、选择题

1.(V24-3V15+2）XV2的值是（）.

A.也6-3病B.3而2也C.2730--73D.—73-730

3333

2.计算（4+K万）（«-^/^万）的值是（）.

A.2B.3C.4D.1

二、填空题

1.（-L+B）2的计算结果（用最简根式表示）是

22

2.（1-2A/3）（1+2百）-（2月-1）2的计算结果（用最简二次根式表

示）是.

3.若-1,则x2+2x+1=.

4.已知。=3+2&，b=3-2y[2,则/b的?二

三、综合提高题

6+77

1.化简

Vio+Vi4+Vi5+V21

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2.当后二一时，求“+1+^^^.+"+1一^^的值.（结果用最简二次

v2-lx+l-vx2+xX+\+\JX2+X

根式表示）

课外知识

1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相

同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二

次根式.

练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）.

B-4附与序呀

A.\[lx与y/2y

C.\/mn与D.+〃与+〃

2.互为有理化因式:•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平

方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2,同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如

X+1-4+2X与x+]++2x就是互为有理化因式;石与白也是互为有理化

因式.

练习：&+也的有理化因式是

x-6的有理化因式是.

-V-X+1-Vx-l的有理化因式是

3.分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘一个二次

根式，达到化去分母中的根号的目的.

练习：把下列各式的分母有理化

(1)(2);(3)⑷

4.其他材料：如果n是任意正整数，那么、〃+/—=n

V«2-i

理由:

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练习:填空后=一;fl=——;其=

答案:一、1.A2.D

x/3

二、1.1—2.4百-243.24.4加

2

石+新

V2V5+叵#i+66+#)币

V5+V7

―&遥+"+6(右+互一0+百

=一(&-百)=73-72

rx_(X+1+A/X2+x)~+(x+1—Jx2+x)~

(X+1)2-(J%2+x)

2(x++(炉+%)x2_2(x+l)(x+1+尤)

当x=-^—=应+1时，原式=2(2&+3)=4&+6.

V2-1

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5.勾股定理

17.1勾股定理

课时1勾股定理

【知识与技能】

掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。

【过程与方法】

在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归

纳、.猜想和验证的数■学发现过程，发展数与形结合的数学思想。

【情感态度与价值观】

在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。

经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的

长。

拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。

<g®0

多媒体课件.

一、创设情境导入新课

引导学生观察课本第64页的地面图形，说说你发现了什么？

提问：①图中有些什么形状？

②三个正方形之间有什么关系？

③通过②的结论你能有什么猜想？说说看。

二、实验操作探求新知

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1.数格子

（1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意一的等腰直角三角形，分别

以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。,观察三个正方形的面积之间有什

么关系。

（2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为

边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。

（3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角,三角形，分别以三角形的

边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。

讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平

方。

2.证明猜想。

要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得

出

a2+b2=c2

3.得出结论

定理：经过证明被确认的命题叫做定理。

勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

三、应用迁移

例1.求下图中的字母A,B所代表的正方形的面积。

10c

精品文档可编辑的精点

20cm

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例2.一个文具盒的尺如

图，一根长30cm的细

木棒能否放进这个文具

盒，为什么？

练习：填空

(1)在RtAABC中,ZC=90°,a=5,b=12,则c=

(2)在RtAABC中，ZB=90°,a=3,b=4,则c=

(3)在等腰RtAABC中，AC=BC,ZC=90°,AC：BC：AB=

(4)在RtAABC中，ZC=90°,ZA=3O°,BC：AC：AB=

探究2.

如图，一个3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为

2.5m,如.果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子的底端B也外移0.5m吗？

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四、拓展应用

在RtAABC中，ZC=90°，NA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c。

(1)a=6,b=8,求c及斜边上的高；

(2)a=40,c=41,求b；

(3)a：b=3：4,c=15,求b。

设计意图：在学生能熟念掌.握新知识后，为进一步培养学生对知识的运用

能力，也为进一步发展学生的几何思维，从而设计了这一习题对所学内容进行

训练。

1.本节的教学内容是勾股定理及它的应用。

2.你认为在勾股定理的应用中要注意什么？

勾股定理.(1)

定理：经过证明被确认的命题叫做定理。

勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

在RtAABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC-所对的边分别为a,b,c。

(1)a=6,b=8,求c及斜边上的高；

(2)a=40,c=41,求b；

(3)a：b=3：4,c=15,求b。

设计意图：在学生能熟念掌一握新知识后，为进一步培养学生对知识的运用

能力，也为进一步发展学生的几何思维，从而设计了这一习题对所学内容进行

训练。

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6.勾股定理

17.1勾股定理

课时2勾股定理的应用

【知识与技能】

1.会用勾股定理解决简单的实际问题

2.树立数形结合的思想。

【过程与方法】

在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归

纳、.猜想和验证的数.学发现过程，发展数与形结合的数学思想。

【情感态度与价值观】

在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。

勾股定理的应用。

实际问题向数学问题的转化。

<g®0

多媒体课件.

一、创设情境导入新课

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用

解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以

吗？试一试。

例习题分析

例1（教材探究1）

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分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条

件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三

角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只

记长度，探讨以何种方式通过？.⑷转化为勾股定理的计n

算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思k

想，激发数学兴趣。

例2(教材P75页探究2)，"。"7^

分析：⑴在AAOB中，已知AB=3,AO=2.5,利用勾股定理计算

OBo.

(2)在ACOD中，已知CD=3,CO=2,利用勾股定理计算OD。

则BD=OD-OB,通过计算可知BDWAC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

六、课堂练习

1.小明和爸爸妈妈十一登香山，他，们沿着45度的坡路走了500米，看到

了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2.如图，山坡上两株树木之间的坡一面距离是46米，则这两株树之间的

垂直距离是

2题图3题图4题图

3.如图，一根12米高的一电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之

间的距离是o

4.如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻

关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高

A

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BC

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速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，

AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

1.本节的教学内容是勾股定理及它的应用。

2.你认为在勾股定理的应用中要注意什么？

勾股定理.(1)

定理：经过证明被确认的命题叫做定理。

勾股定理：在一个直角三角形中，两直一角边的平方和等于斜边的平方

在RtAABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC.所对的边分别为a,b,c。

(1)a=6,b=8,求c及斜边上的高；

(2)a=40>c=41,求b；

(3)a：b=3：4,c=15,求b。

设计意图：在学生能熟念掌.握新知识后，为进一步培养学生对知识的运用

能力，也为进一步发展学生的几何思维，从而设计了这一习题对所学内容进行

训练。

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7.勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

W©@

【知识与技能】

1.掌握直角三角形的判别条件.

2.熟记一些勾股数.

3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法.

【过程与方法】

1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合

的思想.

2.通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精

神.

【情感态度与价值观】

1.通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望.

2.通过对勾股定理的逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神.

探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系.

归纳、猜想出命题2的结论.

多媒体课件.

一、创设问题情境，引入新课

活动1(1)总结直角三角形有哪些性质.(2)一个三角形，满足什么条件是直角

三角形？

设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判

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断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力.

师生行为：学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆.

本活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知

识；②能否“温故知新

生：直角三角形有如下性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余，（3）两直角

边的平方和等于斜边的平方：（4）在含30。角的直角三角形中，30。的角所对的直

角边是斜边的一半.

师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？

生：有一个内角是90。，那么这个三角形就为直角三角形.

生：如果一个三角形，有两个角的和是90°,那么这个三角形也是直角三角

形.

师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a,b,斜边

c具有一定的数量关系即a2+b2=c2,我们是否可以不用角，而用三角形三边的

关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做？

二、讲授新课

活动2问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的

13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角

形，其中一个角便是直角.

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5.有下面的关系“32

+42=52”.那么围成的三角形是直角三角形.

画画看，如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,有下面的关系，

“23+62