平面与平面平行

空间三种平行关系的定义知识复习线线平行a//bab面面平行αβα//β线面平行aαa//α引入前面我们研究了直线与直线平行，直线与平面平行，重点研究了其判定和性质，接下来自然想到要研究两个平面平行，还是要研究其判定与性质．下面我们来探究这两个问题．（？）（判定）线线平行线面平行面面平行（性质）（？）（？）新课两个平面平行可以通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行．由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义来判断．

数学中的“定义”都是充要条件，类似于研究直线与平面平行的判定那样，能否简化平面与平面平行的判定方法呢？探究平面内的直线有无数多条，我们难以对所有直线逐一检验，能否将“一个平面内的任意直线平行另一个平面”中的“任意直线”减少，得到更简便的判定两个平面平行的办法呢？问题（1）：减少到一条可以吗？为什么？分析：也就是说“如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行”．通过分析，这是不一定成立的．我们很容易举出反例，如图所示．

a//α，a⊂β此时α∩β=b．αabβ问题（2）：根据基本事实的推论2，3，两条平行直线或两条相交直线，都可以确定一个平面．由此可以想到，“一个平面内两条平行直线与另一个平面平行”和“一个平面内两条相交直线与另一个平面平行”，能否判断这两个平面平行？用自然语言和符号语言表示你的结论．分析：如图，a，b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行．请观察硬纸片和桌面平行吗？通过观察，不难发现，硬纸片与桌面不一定平行．我们让硬纸片的两条对边所在直线始终平行于桌面，通过简单旋转硬纸片的动作，硬纸片可以和桌面不平行．同学们可以自己操作一下．分析：如图，c，d分别是三角尺的两条边所在直线，它们都和桌面平行，请观察这个三角尺与桌面平行吗？通过观察，只要三角尺的相邻两边c，d所在的直线都和桌面平行，那么三角尺与桌面就一定平行．分析：如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行．我们借助长方体模型来说明．如图，在平面A′ADD′内画一条与A′A平行的直线EF，显然A′A与EF都平行于平面D′DCC′，但这两条平行直线所在的平面A′ADD′与平面D′DCC′相交．ABDCA′B′D′C′EF分析：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的．如图所示长方体模型．平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条直线A′C′，B′D′平行．由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC，BD都与平面A′B′C′D′平行．此时，平面ABCD平行于平面A′B′C′D′．ABDCA′B′D′C′平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．它可以用符号表示为：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a//α，b//α

β//α．面面平行的判定定理告诉我们，可以由直线与平面平行判定平面与平面平行．αbaPβ问题（3）：为什么不能用一个平面内两条平行直线平行于另一个平面判断两个平面平行，而可以用两条相交直线平行另一个平面判断两个平面平行？联想平面向量基本定理，你能对面面平行判定定理做出进一步解释吗？回顾平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使

a=e1+e2．由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示．

问题（3）：联想平面向量基本定理，你能对面面平行判定定理做出进一步解释吗？分析：由平面向量基本定理可知，平面内两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内任意向量可以表示为它们的线性组合，从而平面内两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意直线．而两条平行直线所表示的向量是共线的，用它们不能“表示”这个平面上的任意直线．探究

在实际生活中，你见过工人师傅怎样判断两个平面平行吗？你能说明这么做的道理吗？面面平行的判定定理告诉我们，可以由直线与平面平行判定平面与平面平行．工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，就是应用了这个判定定理．例题

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BC1D．看到要证明的结论，你能想到用什么方法呢？

ABDCA1B1D1C1例题

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BC1D．分析：根据前面我们学习的内容，不难想到：方法1应用两个平面平行的定义，即两个平面没有公共点，即证明平面AB1D1与平面BC1D没有公共点．ABDCA1B1D1C1例题

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BC1D．分析：方法2应用面面平行的判定定理，即在一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．ABDCA1B1D1C1问题：你能发现平面AB1D1和平面BC1D中哪个平面中的两条相交直线平行另一个平面吗？又怎样证明一条直线平行于一个平面呢？分析：通过观察，不难发现，平面AB1D1内的直线D1A，D1B1平行于平面BC1D．要证明直线平行于一个平面，只要证明平面外的直线平行于这个平面内的一条直线即可．ABDCA1B1D1C1证明：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴D1C1//A1B1且D1C1=A1B1，AB//A1B1且AB=A1B1．∴D1C1//AB且D1C1=AB．∴四边形D1C1BA为平行四边形．∴D1A//C1B．

又D1A

平面BC1D，C1B⊂平面BC1D，ABDCA1B1D1C1∴D1A//平面BC1D．

同理D1B1//平面BC1D．又D1A∩D1B1=D1，∴平面AB1D1//平面BC1D．ABDCA1B1D1C1总结：本题的证明方法就是应用面面平行的判定定理．证明面面平行的方法还有定义法，即证明两个平面没有公共点，但应用起来有时候很不方便，所以我们经常应用面面平行的判定定理解决面面平行的问题．熟悉判定定理的应用，体会平面与平面的平行到直线与平面平行，再到直线与直线平行的空间位置关系的转化，规范书写格式．探究

类比直线与平面平行的研究，下面我们研究平面与平面平行的性质，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论呢？问题（1）：从哪些角度考虑我们能得到的结论？分析：观察如图长方体的有关的面面关系，我们可以得到以下这些结论：如果两个平面平行，那么（1）一个平面内的直线必平行另一个平面；（2）一个平面内的直线与另一个平面内的直线没有公共点，它们或者是异面直线，或者是平行直线．ABCDA′B′C′D′问题（2）：在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊情况，什么时候这两条直线平行呢？没有公共点的直线中，平行是一类重要位置关系．在图中，平面A′B′C′D′与平面ABCD平行，在平面ABCD内过点D有平行于直线B′D′的直线吗？如果有，怎样画出这条直线？ABCDA′B′C′D′问题（2）：怎样画出这条直线？分析：由直线B′D′和点D可以确定一个平面，这个平面也是平行直线DD′和BB′确定的平面，它与平面AC有唯一过点D的公共直线BD，直线BD与直线B′D′都在直线B′D′和点D确定的平面内，且没有公共点，所以BD//B′D′．ABCDA′B′C′D′问题（3）：你能够将上面的探究结果抽象为一般结论，并证明你的结论吗？分析：通过观察，我们可能想到的答案有：如果两个平面平行，（1）过一个平面内的一条直线和另一个平面内一点的平面与另一个平面相交，交线与这条直线平行；（2）过一个平面内的一条直线的平面与另一个平面相交，交线与这条直线平行；（3）一个平面与这两个平面相交，交线平行．问题（3）：你能够将上面的探究结果抽象为一般结论，并证明你的结论吗？分析：分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？我们仍然依据基本事实的推论进行分析：如果α//β，a⊂α，b⊂β，且a//b，那么过a，b有且只有一个平面γ．这样，我们可以把直线a，b看成是平面γ与平面α，β的交线．于是可以猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行．猜想证明：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行．已知，如图，平面α//平面β，平面γ分别与平面α，β相交于直线a，b．求证：a//b．αβab证明：如图，平面α//平面β，平面γ分别与平面α，β相交于直线a，b．∵α∩γ=a，β∩γ=b，∴a⊂α，b⊂β．又α//β，

∴a，b没有公共点．又a，b同在平面γ内，

∴a//b．αβab平面与平面平行性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．它可以用符号表示为：α//β，α∩γ=a，β∩γ=ba//b．

面面平行的性质定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行．αβab例题

如图，α//β，AB//CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB=CD．BDCAαβ问题（1）：证明两条线段相等的方法很多，在本题条件下，要证明AB=CD，你想到了什么？分析：可以构造平行四边形，利用其对边相等而得到AB=CD．BDCAαβ问题（2）：这么说来，AB与CD是一个平行四边形的一组对边，那么另一组对边怎么构造呢？题目的条件如何使用？分析：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α，β分别相交于AC，BD．

由面面平行的性质定理，可知AC//BD，进而使得问题得到解决．BDCAαβγ证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α，β分别相交于AC，BD．

∵α//β，

∴BD//AC．

又AB//CD，

∴四边形ABDC是平行四边形．∴AB=CD．BDCAαβγ总结：本题的证明方法应用了面面平行的性质定理．性质定理的本质是要发现与这两个平面有关的直线、平面的相互关系．例如两个平面平行，这两个平面内的直线互相平行或异面；一个平面上的直线和另一个平面平行．这两个平面以外的其他平面如果与其中一个平行，则它与另一个也平行；如果与其中一个相交，则它与另一个也相交，并且交线平行．练习

在描述箭头的括号处填上适当的词．（）（判定）线线平行线面平行面面平行（性质）（）（）练习

在描述箭头的括号处填上适当的词．解析：通过前面的学习，我们完成了立体几何中直线、平面之间平行关系的相互转化．（性质）（判定）线线平行线面平行面面平行（性质）（性质）（判定）练习

判断下列命题是否正确，若正确，则说明理由；若错误，则举出反例．（1）已知平面α，β和直线m，n，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β．（2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α//β．（3）平行于同一条直线的两个平面平行．练习

判断下列命题是否正确，若正确，则说明理由；若错误，则举出反例．（1）已知平面α，β和直线m，n，若m⊂α，n⊂α，

m//β，n//β，则α//β．解析：（1）错误．如果m//n，α与β不一定平行．

可以举出一个反例，如图所示，此时α与β相交．αmlβn练习

判断下列命题是否正确，若正确，则说明理由；若错误，则举出反例．（2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α//β．解析：（2）正确．在一个平面内两条不平行的直线就是两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，α//β．练习

判断下列命题是否正确，若正确，则说明理由；若错误，则举出反例．（3）平行于同一条直线的两个平面平行．解析：（3）错误．平行于同一条直线的两个平面不一定平行．可以举出一个反例，如图所示m//α，m//β，此时α与β相交．αβm练习

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN//平面DBEF．分析：容易证明MN//EF，NA//EB，由此可得MN，NA都平行于平面DBEF，从而平面AMN//平面DBEF．CC1D1BAB1A1MNFED证明：连结B1D1，EN．∵C1F=FD1，C1E=EB1，∴EF//B1D1．

同理MN//B1D1．∴MN//EF．∵MN平面DBEF，EF⊂平面DBEF，∴MN//平面DBEF．CC1D1BAB1A1MNFED∵A1N=ND1，B1E=EC1，

∴NE//A1B1且NE=A1B1．又A1B1//AB且A1B1=AB，∴NE//AB且NE=AB．∴四边形ABEN为平行四边形．∴AN//BE．又