第五章考点平面向量的线性运算

考点21平面向量的线性运算第二章

不等式第1页，共42页第2页，共42页知识要点1．向量的加法

(1)已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量

叫作a与b的________________，记作________________；

(2)向量加法的几何意义

三角形法则：已知a，b，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和向量，如图21-1所示．和向量第3页，共42页知识要点

平行四边形法则：设A为任意一点，＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量为a与b的和向量，如图21-2所示．第4页，共42页知识要点2．向量的减法

(1)向量a加上b的相反向量，叫作a与b的________，即a－b＝a＋(－b).

(2)向量减法的几何意义

已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即差向量为连接两个向量的终点(这两个向量具有共同起点)，方向指向为差向量第5页，共42页知识要点______________________________，如图21-3所示．减向量的终点指向被减向量的终点第6页，共42页知识要点3．数乘向量(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作________，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝________；②当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0或a＝0时，λa＝________.③向量a与非零向量b共线的充要条件是____________.λa|λ||a|相同相反0a＝λb第7页，共42页知识要点(2)运算法则①λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝____________.λμaλa＋μaλa＋λb第8页，共42页知识要点4．平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，根据平行四边形法则，对平面上任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，(x，y)叫作向量a在平面直角坐标系xOy中的坐标，记作___________.a＝(x，y)第9页，共42页知识要点(2)若O(0，0)，A(x，y)，则＝________.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________.(4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______________，a－b＝______________.(5)若a＝(x，y)，λ为实数，则λa＝________．(6)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为________________.(x，y)(x2－x1，y2－y1)(λx，λy)(x2+x1，y2+y1)(x1－x2，y1－y2)第10页，共42页基础过关1．已知ABCD是正方形，下列关于向量的关系式中，一定成立的是()A．＋＝B．＋＝0C．－＝D．＝C123456【提示】∵＋＝，∴－＝.第11页，共42页基础过关2．已知a＝(0，0)，b＝(1，－2)，且c＝2a－3b，则c等于()A．(－3，6)

B．(3，－6)

C．(－1，2)D．(0，3)A123456【提示】2a－3b＝2(0，0)－3(1，－2)＝(－3，6).第12页，共42页基础过关3．化简：4(a＋b)－3(a－b)＋3b等于()A．a－2bB．aC．a＋10bD．a－8bC123456【提示】4(a＋b)－3(a－b)＋3b＝a＋10b．第13页，共42页基础过关4．平面向量a＝(3，1)，b＝(－9，x)，且b＝－3a，则x等于()A．3B．－3C．－9D．9B123456第14页，共42页基础过关5．化简：＋＋＋＋＝________.1234560【提示】＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.第15页，共42页基础过关6．已知M(2，－3)，N(－4，7)两点，则向量的坐标为________.123456(－6，10)【提示】＝(－4，7)－(2，－3)＝(－6，10).典例剖析例1变1例2例1如图21-4所示，四边形ABCD是平行四边形，O为对角线交点，则－＝________，＋＝________.变2第16页，共42页例3变3【思路点拨】可把－转化为，∵＝，∴可知－即＋.(2)∵＝，∴＋即＋.第17页，共42页变式训练1

如图21-5所示，ABCDEF为正六边形，则＋＝______________________，＋＋＝________.典例剖析例1变1例2变2例30变3第18页，共42页例2如图21-6所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则等于()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－b典例剖析例1变1例2变2例3B【思路点拨】可分解为＋，＝＝－.变3第19页，共42页典例剖析变式训练2

已知两个定点A(2，2)，B(4，4)，且P是A，B两点连线的中点，O是坐标原点，求||.例1变1例2变2例3解：∵P是线段AB的中点，∴点P的坐标为＝(3，3).又∵点O的坐标为(0，0)，变3第20页，共42页典例剖析例1变1例2变2例3∴||＝＝.变3第21页，共42页典例剖析例1变1例2变2例3例3

已知A(3，－3)，B(3，6)两点，＝，则点P的坐标为()A．(3，0)B．(1，5)C．(－1，4)D．(2，1)【思路点拨】设P(a，b)，由已知可得(a，b)－(3，－3)＝[(3，6)－(3，－3)].A变3第22页，共42页典例剖析变式训练3(1)已知a＝(1，2)，b＝(2，3)，实数x，y满足xa＋yb＝(3，4)，则x＝________，y＝________；例1变1例2变2例3－12【提示】∵x(1，2)＋y(2，3)＝(3，4)，∴⇒变3第23页，共42页典例剖析(2)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－5，－3)，B(3，－1)，C(5，4)，求点D的坐标．例1变1例2变2例3解：设D(x，y).∵＝，∴(3，－1)－(－5，－3)＝(5，4)－(x，y)，∴(x，y)＝(－3，2)，即点D的坐标为(－3，2).变3第24页，共42页回顾反思

1．向量的加法、减法的运算关键是数形结合思想，向量是一个几何量，因此在研究向量时通常要结合图形，灵活转换向量的加减法，如把－转化为.2．向量的坐标运算实质是向量的代数形式，但共线、垂直等向量关系及模长、中点坐标求解通过数形结合可理解得更为透彻．一、单项选择题1．已知a＝，则|a|等于()

A．0B．1C．1或－1D．第25页，共42页B目标检测123456789101112A组B组1312第26页，共42页2．在四边形ABCD中，若＝a，＝b，则等于()A．a＋bB．a－bC．a＋

bD．

a－bD目标检测123456789101112A组B组1312第27页，共42页【提示】设AC与BD相交于点O，则＝＋＝a－

b．目标检测123456789101112A组B组1312第28页，共42页3．已知△ABC的三边分别为3，4，5，则|＋＋|等于()A．2B．0C．0D．12目标检测B123456789101112A组【提示】|＋＋|＝|0|＝0.12B组13第29页，共42页4．若a＝(x，1)，b＝(－3，y)，且3a＋4b＝(－6，19)，则x，y的值分别为()A．4，2B．－2，4C．2，4D．4，－2C目标检测123456789101112A组B组1312第30页，共42页5．已知向量a＝(1，4)，b＝(3，2),则3a－2b等于()A．(－3，8)B．(3，8)C．(－2，2)D．(3，－8)A【提示】3a－2b＝3(1，4)－2(3，2)＝(3，12)－(6，4)＝(3－6，12－4)＝(－3，8).目标检测123456789101112A组B组1312第31页，共42页6．设点A(2，5)，且B是A关于原点的对称点，则的坐标是()A．(4，0)B．(－4，0)C．(－4，－10)D．(0，－10)【提示】B(－2，－5)，＝(－2，－5)－(2，5)＝(－4，－10).C目标检测123456789101112A组B组1312第32页，共42页二、填空题7．化简：(3a－2b)－(9a－6b)＝____________.0目标检测123456789101112A组B组1312第33页，共42页8．如图所示，已知D是BC边的三等分点，＝2，－2＝________，－2－＝________.【提示】－2＝＋＝，－2－＝＋＋＝.目标检测12345678910111212A组B组13第34页，共42页9．已知向量a＝(3，4)，则与a同向的单位向量是______．目标检测123456789101112A组B组1312第35页，共42页10．设a＝(1，－1)，3a－2b＝(－1，－3)，则b的坐标为________.【提示】3(1，－1)－2b＝(－1，－3).目标检测123456789101112A组B组1312(2,0)第36页，共42页三、解答题11．如图所示，已知正方形ABCD对角线交点为O，令＝a，＝b，试用a和b来表示，，，.解：＝＋＝－a＋b，＝＋＝－a－b，＝＋＝a－b，＝＋＝a＋b．目标检测123456789101112A组B组1312第37页，共42页12．已知A(0，1)，B(2，2)，C(1，1)，D(5，3)四点，求：(1)和的坐标；(2)3＋2的坐标．解：(1)＝(2，2)－(0，1)＝(2，1)，＝(5，3)－(1，1)＝(4，2).(2)3＋2＝3(1，0)＋2(3，1)＝(9，2).目标检测123456789101112A组B组1312第38页，共42页13．设A(2，1)，B(－1，4)两点，点P满足＝2，求点P的坐标．