重庆市一中2024年高二数学第一学期期末经典试题含解析

重庆市一中2024年高二数学第一学期期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若等轴双曲线C过点，则双曲线C的顶点到其渐近线的距离为（）A.1 B.C. D.22．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：33．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（）A. B.C. D.4．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64005．曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.6．某学校的校车在早上6：30，6：45，7：00到达某站点，小明在早上6：40至7：10之间到达站点，且到达的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是（）A. B.C. D.7．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的的值可能为（）A.96 B.97C.98 D.998．新型冠状病毒（2019-NCoV）因2019年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：患病未患病总计服用药104555未服药203050总计3075105下列说法正确的是（）参考数据：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握认为药物有效B.有95%的把握认为药物无效C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效9．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（）A. B.C. D.10．给出如下四个命题正确的是（）①方程表示的图形是圆；②椭圆的离心率；③抛物线的准线方程是；④双曲线的渐近线方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④11．下列语句中是命题的是A.周期函数的和是周期函数吗？ B.C. D.梯形是不是平面图形呢？12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个四面体有五条棱长均为2，则该四面体的体积最大值为_______14．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为__________15．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.16．若，满足约束条件，则的最小值为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，（1）求证：；（2）求直线与所成角的余弦值18．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点（1）求椭圆C方程；（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若①求△面积的范围，②证明：为定值19．（12分）已知首项为1的等比数列，满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和20．（12分）已知点在椭圆：上，椭圆E的离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）若不平行于坐标轴且不过原点O的直线l与椭圆E交于B，C两点，判断是否可能为等边三角形，并说明理由.21．（12分）在等差数列中，设前项和为，已知，.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.22．（10分）已知数列的前n项和（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】先求出双曲线C的标准方程，再求顶点到其渐近线的距离.【题目详解】设等轴双曲线C的标准方程为，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为，故上顶点到其一条渐近线的距离为.故选：A2、A【解题分析】求出椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上,求得点坐标，进而计算，从而求解.【题目详解】由椭圆方程可得：,设点坐标为，线段的中点为，因为线段中点在轴上，所以，即，代入椭圆方程得或，不妨取,则，所以，故选：A.3、B【解题分析】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.【题目详解】由知斜率为，设其倾斜角为，则，将直线绕着原点逆时针旋转，则故新直线的斜率是.故选：B.4、D【解题分析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.5、B【解题分析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.【题目详解】因为，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：B6、B【解题分析】求出小明等车时间不超过5分钟能乘上车的时长，即可计算出概率.【题目详解】6:40至7：10共30分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分钟，所以所求概率为.故选：B7、D【解题分析】根据程序框图得出的变换规律后求解【题目详解】当时，，当时，，当时，，当时，，可得输出的T关于t的变换周期为4，而，故时，输出的值为，故选：D8、A【解题分析】根据列联表计算，对照临界值即可得出结论【题目详解】根据列联表，计算，由临界值表可知，有95%的把握认为药物有效，A正确故选：A9、D【解题分析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.【题目详解】解：因为两点，则，又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，故选：D.10、A【解题分析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。【题目详解】对于①选项，，，故①错误；对于②选项，由题知，所以，所以离心率，故②错误；对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故③正确；对于④选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.故选：A11、B【解题分析】命题是能判断真假的语句，疑问句不是命题，易知为命题，故选B12、B【解题分析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.【题目详解】在椭圆中，，，则，所以，，由椭圆的定义可得，取的中点，因为，则，由勾股定理可得，所以，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，易得该四面体必然有两个面为等边三角形，根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案【题目详解】一个四面体有五条棱长都等于2，如下图：设除PC外的棱均为2，设P到平面ABC距离为h，则三棱锥的体积V＝，∵是定值，∴当P到平面ABC距离h最大时，三棱锥体积最大，故当平面PAB⊥平面ABC时，三棱锥体积最大，此时h为等边三角形PAB的AB边上的高，则h，故三棱锥体积的最大值为：故答案为：114、【解题分析】先将抛物线的方程转化为标准方程的形式，即可判断抛物线的焦点坐标为，从而解得答案.【题目详解】解：因为抛物线方程为，即，所以，，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为：.15、【解题分析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.【题目详解】由直线可得，所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，令可得；令可得；即，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，整理得.故答案为：.16、【解题分析】作出线性约束条件的可行域，再利用截距的几何意义求最小值；【题目详解】约束条件的可行域，如图所示：目标函数在点取得最小值，即.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）过点作交的延长线于点，连接，由，，证出平面，即可证出.（2）以为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用，即可得到答案.【小问1详解】过点作交的延长线于点，连接，因为，所以，又因为，所以，所以，即，.因为，所以平面，因为平面，所以【小问2详解】因为平面平面，平面平面，所以平面，以为原点，的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，因为，所以直线与所成角的余弦值为18、（1）；（2）①；②证明见解析.【解题分析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；（2）先根据相切求出直线的斜率，结合可得，进而应用弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求△面积的范围，再逐个求解，，然后可证结论.【小问1详解】由题意，解得，故椭圆C的方程为.【小问2详解】设直线为，联立得：，因为直线与椭圆C相切，则判别式，即，整理得，∴，故直线为，又，可得，设直线为，联立方程组，解得，故Q为，联立方程组，化简得设，由得：，且，①，到直线的距离为，∴，令，∴.②由上，故，于是为定值.【题目点拨】直线与椭圆的相切问题一般是联立方程，结合判别式为零求解；定值问题的求解一般结合目标式中的项，逐个求解，代入验证即可.19、（1）（2）【解题分析】（1）根据已知条件求得数列的公比，由此求得.（2）利用错位相减求和法求得.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，可得.故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以【小问2详解】由（1）得，，①，②①②，得所以20、（1）（2）三角形不可能是等边三角形，理由见解析【解题分析】（1）根据点坐标和离心率可得椭圆方程；（2）假设为等边三角形，设，与椭圆方程联立，由韦达定理得的中点的坐标，，利用得出矛盾.小问1详解】由点在椭圆上，得，即，又，即，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】假设为等边三角形，设，，联立，消去得，由韦达定理得，由得，故，所以的中点为，所以，故，与等边三角形中矛盾，所以假设不成立，故三角形不可能是等