湖北省汉阳一中2024学年数学高二上期末学业水平测试试题含解析

湖北省汉阳一中2024学年数学高二上期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.2．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.3．向量，向量，若，则实数（）A. B.1C. D.4．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.5．在数列中，，，则（）A.985 B.1035C.2020 D.20706．如图，在四面体中，，，，点为的中点，，则（）A. B.C. D.7．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.8．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A. B.C. D.9．设数列、都是等差数列，若，则等于（）A. B.C. D.10．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A.10种 B.12种C.16种 D.24种11．已知函数的导数为，且满足，则（）A. B.C. D.12．在平行六面体中，点P在上，若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________14．设、为正数，若，则的最小值是______，此时______.15．已知正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为_________16．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点，；（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点19．（12分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和.20．（12分）如图，在半径为6m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长|AB|xm，圆柱的体积为Vm3.（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少?21．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5（1）求C方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程22．（10分）某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、.（1）估计该班本次测试的平均分；（2）在、中按分层抽样的方法抽取个数据，再从这个数据中任抽取个，求抽出个中至少有个成绩在中的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.【题目详解】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，则，由得，可得，解得故选：C.2、B【解题分析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.【题目详解】双曲线，，，因为双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，所以，，，.故选：B3、C【解题分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【题目详解】因为向量，向量，若，则，解得：，故选：C.4、B【解题分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.【题目详解】如图：依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：，解得：，代入得，故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，即，化简得：，，，；故选：B.5、A【解题分析】根据累加法得，，进而得.【题目详解】解：因为所以，当时，，，……，，所以，将以上式子相加得，所以，，.当时，，满足；所以，.所以.故选：A6、B【解题分析】利用插点的方法，将归结到题目中基向量中去，注意中线向量的运用.【题目详解】.故选：B.7、A【解题分析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.【题目详解】圆的圆心为，半径为.设左焦点为，连接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故选：A8、D【解题分析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【题目详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，又圆锥的表面积为，则，解得，，则圆锥的高，所以圆锥的体积，故选：D.9、A【解题分析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.【题目详解】设等差数列的公差为，即，由于数列也为等差数列，则，可得，即，可得，即，解得，所以，数列为常数列，对任意的，，因此，.故选：A.【题目点拨】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.10、A【解题分析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.【题目详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A11、C【解题分析】首先求出，再令即可求解.【题目详解】由，则，令，则，所以.故选：C【题目点拨】本题主要考查了基本初等函数的导数以及导数的基本运算法则，属于基础题.12、C【解题分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【题目详解】因为，，所以有，因此，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、405【解题分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，14、①.4②.【解题分析】巧用“1”改变目标式子的结果，借助均值不等式求最值即可.【题目详解】，当且仅当即，时等号成立.故答案为，【题目点拨】本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题15、16【解题分析】根据是等比数列，由，即可得也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出的最小值.【题目详解】是等比数列，，即，也是等比数列，且，，可得：，当且仅当时取等号，的最小值为16.故答案为：1616、【解题分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥斜高为该六棱锥的侧面积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）化简得到，由此证得数列为等差数列.（2）先求得，然后利用错位相减求和法求得.【小问1详解】.又数列是以1为首项，4为公差等差数列.【小问2详解】由（1）知：，则数列的通项公式为，则，①，②，①-②得：，，，，.18、（1）；（2）或.【解题分析】（1）由已知可得，，且焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；（2）由已知可得，，此时焦点在轴上，或，，此时焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；【小问1详解】解：椭圆经过点，，，，，且焦点在轴上，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：长轴长是短轴长的3倍，且经过点，当点在长轴上时，，，此时焦点在轴上，此时椭圆的标准方程为；当点在短轴上时，，，此时焦点在轴上，此时椭圆的标准方程.综合得椭圆的方程为或.19、（1）证明见解析；（2）当为偶数时，；当为奇数时，.【解题分析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可；（2）利用分组求和法，结合错位相减法进行求解即可.【小问1详解】由题知：所以又因为所以所以数列为以－1为首项，－1为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）知：，所以，，记，所以，当为偶数时，；当为奇数时，；记两式相减得：，所以，所以，当偶数时，；当为奇数时，.20、（1），；（2）时，最大值为m3.【解题分析】(1)连接，在中，由，利用勾股定理可得，设圆柱底面半径为，求出．利用(其中即可得出；(2)利用导数，求出V的单调性，即可得出结论【小问1详解】连接，在中，，，设圆柱底面半径为，则，即，，其中【小问2详解】由及，得，列表如下：，0↗极大值↘∴当时，有极大值，也是最大值为m321、（1）；（2）.【解题分析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.【题目详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，∴C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，∴联立抛物线方程，得：，，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，∴，即，得，∴直线l的方程为.【题目点拨】关键点点睛：（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.22、（1）；（2）.【解题分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分