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文档简介

2021年广东省东莞市市常平中学高一数学文期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知幂函数f(x)=xα的图象过点,则函数g(x)=(x﹣2)f(x)在区间上的最小值是()A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣4参考答案:C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【分析】求出幂函数f(x)的解析式,从而求出g(x)的解析式,根据函数的单调性求出g(x)在闭区间上的最小值即可.【解答】解:∵幂函数f(x)=xα的图象过点,∴2α=,解得:α=﹣1,故g(x)==1﹣,而g(x)在[,1]递增,故g(x)min=g()=﹣3,故选:C.【点评】本题考查了幂函数的定义,考查函数的单调性、最值问题,是一道基础题.2.已知函数,那么f[f()]的值为()A.9 B. C.﹣9 D.﹣参考答案:B【考点】函数的值.【分析】首先判断自变量是属于哪个区间,再代入相应的解析式,进而求出答案.【解答】解:∵,∴==﹣2,而﹣2<0,∴f(﹣2)=3﹣2=.∴=.故选B.【点评】正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键.3.设集合A={1,2,4,6},B={2,3,5},则韦恩图中阴影部分表示的集合(

)A.{2} B.{3,5} C.{1,4,6} D.{3,5,7,8}参考答案:B【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【分析】根据题意,分析可得,阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素,根据已知的A、B,分析可得答案.【解答】解:根据题意,分析可得,阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素,即阴影部分表示(CUA)∩B,又有A={1,2,4,6},B={2,3,5},则(CUA)∩B={3,5},故选B.【点评】本题考查集合的图示表示法,一般采取数形结合的标数法或集合关系分析法.4.若函数f(x)=(k﹣1)ax﹣a﹣x(a>0,a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图象是()A. B. C. D.参考答案:A【考点】奇偶性与单调性的综合;对数函数的图象与性质.【专题】数形结合.【分析】根据函数是一个奇函数,函数在原点出有定义,得到函数的图象一定过原点,求出k的值,根据函数是一个减函数,看出底数的范围,得到结果.【解答】解:∵函数f(x)=(k﹣1)ax﹣a﹣x(a>0,a≠1)在R上是奇函数,∴f(0)=0∴k=2,又∵f(x)=ax﹣a﹣x为减函数,所以1>a>0,所以g(x)=loga(x+2)定义域为x>﹣2,且递减,故选:A【点评】本题考查函数奇偶性和单调性,即对数函数的性质,本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用.5.某产品的广告费用(万元)与销售额(万元)的统计数据如下表:x2345y26394954

已知数据对应的回归直线方程中的为9.4,据此模型预计广告费用为6万元时的销售额为(

)A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元参考答案:B【分析】根据表格中给的数据,广告费用x与销售额y的平均数,得到样本中心点,代入样本中心点求出a的值,写出线性回归方程,将x=6代入回归直线方程,得到y,可以预测广告费用为6时的销售额.【详解】由表格中的数据得:又回归方程:中的为9.4,故,,将x=6代入回归直线方程,得(万元)故选:B【点睛】本题考查了线性回归方程得求解及应用,考查了学生综合分析,数学运算的能力,属于基础题.6.在△ABC中的内角A、B、C所对的边a、b、c根据下列条件解三角形,其中有两个解的是(

).A.b=10,A=45°,C=70° B.a=60,c=48,B=60°C.a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45°参考答案:D【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,B=65°,所以所以a只有一解,所以三角形只有一解;对于选项B,由余弦定理得,b只有一解,所以三角形只有一解;对于选项C,由正弦定理得,因为b<a,所以B只有一解,所以三角形只有一解;对于选项D,由正弦定理得.因为,所以,所以三角形有两个解.故选:D.7.如图,在平面斜坐标系中,,平面上任一点在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1、e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y).若P点的斜坐标为(3,-4),则点P到原点O的距离|PO|=(---)A.

B.3

C.

5

D.

参考答案:A略8.已知f(x)=,则f(f(x))≤3的解集为()A.(﹣∞,﹣3] B.[﹣3,+∞) C.(﹣∞,] D.[,+∞)参考答案:C【考点】7E:其他不等式的解法;5B:分段函数的应用.【分析】由已知条件根据分段函数的表达式进行求解即可求出f(f(x))≤3的解集.【解答】解:设t=f(x),则不等式f(f(x))≤3等价为f(t)≤3,作出f(x)=的图象,如右图,由图象知t≥﹣3时,f(t)≤3,即f(x)≥﹣3时,f(f(x))≤3.若x≥0,由f(x)=﹣x2≥﹣3得x2≤3,解得0≤x≤,若x<0,由f(x)=2x+x2≥﹣3,得x2+2x+3≥0,解得x<0,综上x≤,即不等式的解集为(﹣∞,],故选:C.9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是()A.2,﹣ B.2,﹣ C.4,﹣ D.4,﹣参考答案:B【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.【分析】根据图象的两个点A、B的横坐标,得到四分之三个周期的值,得到周期的值,做出ω的值,把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相,写出解析式,代入数值得到结果.【解答】解:由图象可得:=﹣(﹣)=,∴T==π,∴ω=2,又由函数f(x)的图象经过(,2),∴2=2sin(2×+φ),∴+φ=2kπ+,(k∈Z),即φ=2kπ﹣,k∈Z,又由﹣<φ<,则φ=﹣.故选:B.【点评】本题考查有部分图象确定函数的解析式,本题解题的关键是确定初相的值,这里利用代入点的坐标求出初相,属于基础题.10.集合的子集有

)A.2个

B.3个

C.4个

D.5个参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中,三个内角的对边分别为,且,则=____.参考答案:12.如图是正方体的平面展开图,那么在这个正方体中,异面直线与所成的角的大小是

.参考答案:

13.函数在上的最大值比最小值大,则的值为

。参考答案:略14.函数f(x)=x2﹣x﹣2的零点是

.参考答案:2或﹣1【考点】函数零点的判定定理.【分析】由零点的定义,令f(x)=0,由二次方程的解法,运用因式分解解方程即可得到所求函数的零点.【解答】解:令f(x)=0,即x2﹣x﹣2=0,即有(x﹣2)(x+1)=0,解得x=2或x=﹣1.即函数f(x)的零点为2或﹣1.故答案为:2或﹣1.15.1海里约合1852m,根据这一关系,米数y关于海里数x的函数解析式为

参考答案:y=1852x(x>0)16.映射:,在的作用下,A中元素与B中元素对应,则与B中元素对应的A中元素是_______.参考答案:(1,2)17.函数y=的定义域为A,值域为B,则A∩B=.参考答案:[0,2]【考点】函数的值域;交集及其运算;函数的定义域及其求法.【分析】分别求出函数的定义域,和值域,然后利用集合的基本运算求解即可.【解答】解:要使函数有意义,则﹣x2﹣2x+8≥0,即x2+2x﹣8≤0,解得﹣4≤x≤2,即函数的定义域A=[﹣4,2].y==,∵﹣4≤x≤2,∴0≤,即0≤x≤3,即函数的值域B=[0,3],∴A∩B=[﹣4,2]∩[0,3]=[0,2].故答案为:[0,2].【点评】本题主要考查函数的定义域和值域的求法,以及集合的基本运算,利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(12分)设,是两个相互垂直的单位向量,且,.(1)若,求的值;

(2)若,求的值.参考答案:解法一:(1)由,且,故存在唯一的实数,使得,即

(2),,即,,

解法二:∵,是两个相互垂直的单位向量,

∴、,

⑴∵,∴,解得;

⑵,,即,解得。略19.函数f(x)=k?a﹣x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8)(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数是奇函数,求b的值;(3)在(2)的条件下判断函数g(x)的单调性,并用定义证明你的结论.参考答案:【考点】函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断.【专题】综合题;待定系数法.【分析】(1)根据A(0,1),B(3,8)在函数图象,把点的坐标代入解析式列出方程组,求出k、a的值;(2)由(1)求出g(x)的解析式和定义域,再根据奇函数的定义g(x)=﹣g(﹣x)列出关于b的等式,由函数的定义域求出b的值;(3)利用分离常数法化简函数解析式,先判断出在定义域上的单调性,再利用取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论,证明函数的单调性.【解答】解:(1)∵函数的图象过点A(0,1),B(3,8)∴,解得,∴f(x)=2x(2)由(1)得,,则2x﹣1≠0,解得x≠0,∴函数g(x)定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)∵函数g(x)是奇函数∴,∴,即,∴1+b?2x=2x+b,即(b﹣1)?(2x﹣1)=0对于x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)恒成立,∴b=1

(3)由(2)知,,且x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞)当x>0时,g(x)为单调递减的函数;当x<0时,g(x)也为单调递减的函数,证明如下:设0<x1<x2,则∵0<x1<x2,∴,∴g(x1)>g(x2),即g(x)为单调递减的函数同理可证,当x<0时,g(x)也为单调递减的函数.【点评】本题是函数性质的综合题,考查了用待定系数法求函数解析式,利用奇函数的定义求值,用定义法证明函数的单调性;注意函数的定义域优先,并且函数的单调区间不能并在一起,这是易错的地方.20.(1)(2)参考答案:(1)

(2)

21.已知圆C1的方程为x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣2m+1=0.(1)求当圆的面积最大时圆C1的标准方程;(2)求(1)中求得的圆C1关于直线l:x﹣y+1=0对称的圆C2的方程.参考答案:【考点】直线与圆的位置关系;圆的标准方程.【分析】(1)根据圆的面积最大时半径最大,写出圆C1半径r的解析式,求出半径最大值以及对应的圆C1的方程,再化为标准方程;(2)求出圆C1的圆心坐标关于直线l的对称点,即可写出对称圆圆C2的方程.【解答】解:(1)圆C1的面积最大,即圆的半径最大,则圆C1的半径为,即,因此当m=1时圆C1的半径最大,最大值为2,…此

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