2021年内蒙古自治区赤峰市市元宝山区平煤高中高二数学文模拟试题含解析

2021年内蒙古自治区赤峰市市元宝山区平煤高中高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数x，y满足不等式组，若、为整数，则

的最小值（

）A．13

B．16

C．17

D．19参考答案：B2.已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是A、4

B、2

C、1

D、0参考答案：A3.在△ABC中，，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A4.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)

A.至多有一次中靶

B.两次都中靶C.两次都不中靶

D.只有一次中靶参考答案：C略5.若定义在正整数有序对集合上的二元函数满足：①，②

③，则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点

（

）A.(2,2)

B.(1,2)

C.(1.5,0)

D(1.5,4)参考答案：D略7.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列{an}的公比为(

)

A.4 B.2 C.1 D.参考答案：B8.(

）A．2－2i

B．2+2i

C．－2

D．2参考答案：D9.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1

B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：A【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10.已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（2，+∞）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意构造函数g（x）=xf（x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），构造为g（x+1）＞g（x2﹣1），问题得以解决．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故选：D．【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆非曲直的离心率为，连接椭圆的四个顶点所得到的四边形的面积为，则椭圆的标准方程为__

___．参考答案：

略12.△ABC的三边长分别为3、4、5，P为面ABC外一点，它到△ABC三边的距离都等于2，则P到面ABC的距离是________．参考答案：13.设函数，若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为____；参考答案：【分析】由函数恰由3个零点，即方程有3个不同的解，设，，利用导数求得函数的单调性与最值，作出函数的图象，结合图象，即可求解。【详解】由题意，函数恰由3个零点，即方程有3个不同的解，设，，则，可得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，则函数的图象，如图所示，方程有3个不同的解等价于函数的图象与直线由3个的交点，结合图象可得，实数的取值范围。【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数，准确利用导数求得函数的单调性与最值，画出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合与转化思想，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题。14.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.参考答案：根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X相应为4，6，8，10．∴.15.数列的通项公式是，若前n项的和为10，则项数n=

.参考答案：12016.《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（

）A.144种 B.288种 C.360种 D.720种参考答案：A《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词排列全排列共有种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在个空里（最后一个空不排），有种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有种，故选A.17.将扑克牌中的A,2,3,4，……,J,Q,K分别看做数字1,2,3，……,11,12,13，现将一副扑克牌中的黑桃,红桃各13张放到一起,从中随机取出两张牌,其花色不同且两个数的积是完全平方数的概率为

_.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），P（x，y）为平面上一动点，P到直线x=2的距离为d，=．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的中点为D，直线OD与直线x=2交点的纵坐标为1，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用两点间距离公式、点到直线的距离公式，根据=，列出方程，由此能求出点P的轨迹C的方程．（Ⅱ）直线OD的方程为y=，由点差数求出直线l的斜率，进而其方程设为y=﹣x+m，m≠0，联立，得：3x2﹣4mx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件，能求出△OAB面积的最大值及此时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），P（x，y）为平面上一动点，∴|PM|=，∵P到直线x=2的距离为d，∴d=|x﹣2|，∵=，∴==．整理，得：=1．∴点P的轨迹C的方程为=1．（Ⅱ）∵不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的中点为D，直线OD与直线x=2交点的纵坐标为1，∴直线OD的方程为y=，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），其中，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆=1上，∴，∴=﹣=﹣=﹣1，∴直线l的方程为y=﹣x+m，m≠0，联立，整理，得：3x2﹣4mx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆有两个不同的交点且不过原点，∴△=16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，解得﹣，且m≠0（*）由韦达定理，得，，∴|AB|=|x1﹣x2|===．∵点O（0，0）到直线l的距离为：h=，∴S△OAB===，当且仅当m2=，即m=时，等号成立，满足（*）式，∴△OAB面积的最大值为，此时直线l的方程为y=﹣x．19.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC=30°，∠CAB=45°，CD=﹣．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）若BC=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCA=∠CAB=45°，进而利用正弦定理可求AD的值．（Ⅱ）利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，利用正弦定理可求AC，由余弦定理可求AB，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠DCA=∠CAB=45°，…因为，…所以AD==2﹣2．…（Ⅱ）∠ADC=180°﹣（30°+45°）=105°，所以，sin∠ADC=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=，…因为=，所以AC=2，…设AB=x，因为，BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos∠CAB，可得：x2﹣2x﹣6=0，所以，AB=3，…．所以，S△ABC=AC?ABsin∠CAB=3．…20.某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

逻辑思维能力运动协调能力一般良好优秀一般221良好4b1优秀13a

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）求，的值．（2）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率．（3）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列．参考答案：（1）；（2）；（3）见解析试题分析：（1）求，的值，由题意，从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人，可由，解出的值，从而得的值；（2）由题意，从人中任意抽取人的方法数为，而至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的对立事件是，没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生，而没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的方法数为，由古典概型，可求出没有运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率，从而得所求的概率；（3）由题意得的可能取值为，由古典概型，分别求出它们的概率，得随机变量的分布列，从而得数学期望．试题解析：（1）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人．则．解得．所以．4分（2）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人．则．7分（3）的可能取值为，，．位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人．所以，，．所以的分布列为

0

1

2

所以，．13分考点：古典概型，分布列，数学期望．21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1，所以a2=b2+c2=2所以椭圆C1的方程为．（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0整理得km=1②综合①②，解得或所以直线l的方程为或．22.正项数列{an}的前n项和为Sn，且2=an+1．（1）试求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）根据求得a1，进而根据4Sn=（an+1）2和4Sn﹣1=（an﹣1+1）2（n≥2）两式相减整理得（an+an﹣1）