甘肃省卓尼县柳林中学2024学年高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

甘肃省卓尼县柳林中学2024学年高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且FM的中点A在双曲线上，则双曲线离心率e等于（）A. B.C. D.2．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A.99 B.131C.139 D.1413．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（）A.外切 B.内切C.相交 D.相离4．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）A.35 B.75C.155 D.3156．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（）A.14 B.9C.4 D.27．如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，设，若P到平面的距离为2d，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分8．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（）A. B.C. D.9．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.10．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线11．设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形12．一条直线过原点和点，则这条直线的倾斜角是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，，将中的所有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列，则数列的前n项和的最大值为___________.14．已知点为双曲线，右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则________；若为线段的中点且，则双曲线的离心率为________15．已知圆，过点作圆O的切线，则切线方程为___________.16．半径为的球的体积为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-.（1）求椭圆C的离心率（2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值.18．（12分）已知等差数列的前项和满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19．（12分）已知圆，直线（1）当直线与圆相交，求的取值范围；（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程20．（12分）已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标21．（12分）国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过元提高至不超过元，助学贷款偿还本金的宽限期从年延长到年.假如学生甲在本科期间共申请到元的助学贷款，并承诺在毕业后年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为元，第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，此后工资不再浮动.（1）学生甲参加工作后第几个月的月工资达到元；（2）如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，第个月偿还剩余的本金.则他第个月的工资是否足够偿还剩余的本金.（参考数据：；；）22．（10分）某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：加盟店个数（个）12345单店日平均营业额（万元）10.910.297.871（参考数据及公式：，，线性回归方程，其中，.）（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知的斜率，表示出直线方程，求出的坐标进而求得A点坐标，代入双曲线方程整理求得和的关系式，进而求得离心率【题目详解】：由题意设相应的渐近线：，则根据直线的斜率为，则的方程为，联立双曲线渐近线方程求出，则，，则的中点，把中点坐标代入双曲线方程中，即，整理得，即，求得，即离心率为，故答案为：2、D【解题分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【题目详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D3、A【解题分析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.【题目详解】对圆，其圆心，半径；对圆，其圆心，半径；又，故两圆外切.故选：A.4、D【解题分析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.【题目详解】若，则可得：，故选项A错误；若，则可得：，故选项B错误；若，则可得：，故选项C错误；不妨设的首项为，公差为，则有：则有：，故选项D正确故选：D5、C【解题分析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.【题目详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.【题目点拨】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.6、C【解题分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.【题目详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，则在双曲线中，，即有，解得，所以.故选：C7、B【解题分析】取的中点，得出平面，作，在直角中，求得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，即可求解.【题目详解】如图所示，取的中点，连接，得到平行于平面且过点的平面，如图（1）（2）所示，作，则P1与E重合，则，在直角中，可得，在图（3）中，设直三棱柱的所有棱长均为，且，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，所以，即所以，整理得，所以点P的轨迹是椭圆的一部分.故选：B.8、D【解题分析】由题意可知，然后分析判断即可【题目详解】由题意知，即可满足题意，故A，B，C错误，D正确.故选：D9、A【解题分析】由，得，从而可得答案.【题目详解】解：因为，所以，即，解得.故选：A.10、D【解题分析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.【题目详解】因为到直线的距离等于到点的距离，所以到直线的距离等于到点的距离，所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线故选：D11、D【解题分析】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.【题目详解】由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.故选：D.12、C【解题分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.【题目详解】设这条件直线的倾斜角为，则，，因此，.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由题意设，，根据可得，从而，即可得出答案.【题目详解】设，由，得，由，得中的元素满足，即，可得所以，由,所以所以，要使得数列的前n项和的最大值，即求出数列中所以满足的项的和即可.即，得，则所以数列的前n项和的最大值为故答案为：147214、①.②.【解题分析】过作，交于点，作，交于点，由向量共线定理可得；再由角平分线性质定理和双曲线的定义、结合余弦定理和离心率公式，可得所求值【题目详解】解：过作交于点，作交于点，由，得，由角平分线定理；因为为的中点，所以，由双曲线的定义，，所以，，，在中，由余弦定理，所以.故答案为：；.【题目点拨】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及角平分线的性质定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题15、或【解题分析】首先判断点圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程.【题目详解】由题设，，故在圆外，根据圆及，知：过作圆O的切线斜率一定存在，∴可设切线为，联立圆的方程，整理得，∴，解得或.∴切线方程为或.故答案为：或.16、【解题分析】根据球的体积公式求解【题目详解】根据球的体积公式【题目点拨】球的体积公式三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）1【解题分析】（1）根据椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-，由求解；（2）根据点M（，）在椭圆C上，顶点，再由，求得椭圆方程，由，结合，得到，设直线方程为，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，求得Q的坐标，代入求解.【小问1详解】解：设椭圆C：的上顶点为，左顶点为，右顶点为，因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-,所以，即，又所以，解得；【小问2详解】因为点M（，）在椭圆C上，所以，又，解得，所以椭圆方程为，，则，因为，所以，又，所以，则，设，则，当时，则，不合题意；当时，设直线方程为，与题意方程联立，消去y得：则，所以，则，因为，由，得，因为，所以，化简得，因，则.18、（1）（2）【解题分析】（1）根据已知求出首项和公差即可求出；（2）利用裂项相消法求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，化简得，解得，所以【小问2详解】由（1）可知，所以，所以.19、（1）；（2）或【解题分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；（2）根据勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数的值，即可求出直线的方程.【小问1详解】解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为直线与圆相交，则，解得.【小问2详解】解：因为，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，整理得，解得或.所以，直线的方程为或.20、（1）（2）证明见解析，定点【解题分析】（1）先判断出在椭圆上，再代入求椭圆方程；（2）假设斜率存在，设出直线，利用斜率之和为，求出之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可.【小问1详解】由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，将，代入椭圆的方程，解得，所以椭圆的方程为【小问2详解】当直线斜率存在时，令方程为，由得所以得方程为，过定点当直线斜率不存在时，令方程为，由，即解得此时直线方程为，也过点综上，直线过定点.【题目点拨】本题关键点在于先假设斜率存在，设出直线，利用题目所给条件得到之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可，属于定点问题的常见解法，注意积累掌握.21、（1）；（2）不能，理由见解析.【解题分析】（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到元，根据已知条件可得出关于的