河南省焦作市新宇高级中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析

河南省焦作市新宇高级中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=xα的图象经过点(2，)，则f（4）的值等于（）A． B． C．2 D．16参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】由题意可得2α=，求出α=﹣，由此求出f（4）=运算求得结果．【解答】解：函数f（x）=xα的图象经过点，故有2α=，∴α=﹣．∴f（4）===，故选B．【点评】本题主要考查幂函数的定义，求出α=﹣，是解题的关键，属于基础题．2.下列问题中，应采用哪种抽样方法（）①有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；②有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；③有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；④有甲厂生产的300个篮球，抽取50个入样．A．分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样B．分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样C．抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样D．抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法参考答案：C【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样．【解答】解：总体容量较小，用抽签法；总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样；总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法；总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样，故选C．【点评】本题考查收集数据的方法，考查系统抽样，分层抽样，简单随机抽样的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.已知直线m，n，平面，给出下列命题：①若，且，则②若，且，则③若，且，则④若，且，则其中正确的命题是（）A.①③ B.②④ C.③④ D.①②参考答案：A【分析】根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案。【详解】①若，则在平面内必有一条直线使，又即，则，故正确。②若，且，与可平行可相交，故错误③若，即又，则，故正确④若，且，与可平行可相交，故错误所以①③正确，②④错误故选A【点睛】本题考查面面垂直，面面平行的判定，属于基础题。4.已知向量，，则（

）A.(－1,0) B.(1,0) C.(2,2) D.(5,6)参考答案：A【分析】利用数乘向量和向量的减法法则计算得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查数乘向量和向量的减法的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.要得到函数的图象，只需要将的图象

（

）.（A）向右平移个单位

（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位

（D）向左平移个单位

参考答案：C略6.空间的点M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0）的距离为（）A． B．3 C． D．4参考答案：C【考点】JI：空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0），∴|MN|==2．故选C．7.集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|﹣1≤x＜3}，那么A∪B=（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|2＜x＜3}参考答案：A【考点】并集及其运算．

【专题】计算题；数形结合．【分析】把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A与B的并集．【解答】解：把集合A和集合B中的解集表示在数轴上，如图所示，则A∪B={x|﹣2＜x＜3}故选A【点评】此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题．8.数列的通项公式是，若前项和为，则项数的值为()A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知点，，若圆上存在不同的两点，使得，且，则m的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】结合题意将其转化为圆和圆的位置关系，两圆相交，计算出圆心距，然后求出结果.【详解】依题意可得，以为直径的圆与圆相交，则圆心距，解得.故选【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，在解答过程中要先读懂题目的意思，将其转化为圆与圆的位置关系，本题还需要一定的计算量，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知随机变量X的概率分布为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2<X≤4)＝

▲

．参考答案：

；

12.设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是

．参考答案：13.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于对称.参考答案：直线y=x

解析：根据函数的定义,设x为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x)为其相应的函数值,即为y,即y=f(x),则有x=(y)①又由已知得f[f(x)]=f(y)=x②

∴由①②知f(x)与其反函数(x)为同一函数,∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称.

14.函数的定义域为．参考答案：{x|x＜4且x≠3}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】欲求此函数的定义域一定要满足：4﹣x＞0，x﹣3≠0，进而求出x的取值范围，得到答案．【解答】解：由，解得：x＜4且x≠3故答案为：{x|x＜4且x≠3}【点评】对数函数的真数大于0，分母不能是0，是经常在求定义域时被考到的问题．15.设变量，满足约束条件，则的最大值是__________；的最小值是__________．参考答案：，画出可行域如图所示．在点处，取得最大值，，在点处，取最小值，．16.函数，的单调递增区间为______________．参考答案：略17.函数f(x)＝ax－1＋3(a>0且a≠1)的图象必过定点P，则P点坐标为________．参考答案：(8

，1)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？若存在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设F（c，0），可得直线l的方程为y=x﹣c，运用点到直线的距离公式，求得c，再由离心率公式计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）设y=k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程得（1+3k2）x2﹣12k2x+24k2﹣12=0，由此运用韦达定理和向量的坐标运算，求出点P的坐标代入椭圆方程，解得k，即可得到所求．【解答】解：（1）设F（c，0），可得直线l的方程为y=x﹣c，即为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为2，即有2=，解得c=2，由e==，可得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），①当直线l的斜率存在，设其方程为：y=k（x﹣2）（k≠0）由，消去y得（1+3k2）x2﹣12k2x+24k2﹣12=0．∴x1+x2=，∴y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k?（﹣4）=，∵=+，∴x0=x1+x2=，∴y0=y1+y2=．将P点坐标代入椭圆得（）2+3（）2=12，∴15k4+2k2﹣1=0，∴k2=（﹣舍去），即为k=±．当k=时，P（，﹣），直线l：x﹣y﹣2=0，当k=﹣时，P（，），直线l：x+y﹣2=0．②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=2，依题意，四边形OAPB为菱形，此时点P不在椭圆上，即当直线l的斜率不存在时，不适合题意；综上所述，存在P，且P（，﹣），直线l：x﹣y﹣2=0，或P（，），直线l：x+y﹣2=0．19.参考答案：解析：（1）（2）当时，x=300,当x>400时f(x)单减，f(x)<25000故当月产量为３００时，20.已知集合A={x|a﹣4≤x≤a}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（1）当a=0时，试求A∩B，A∪B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）当a=0时，求出集合A=[﹣4，0]，则A∩B，A∪B可求；（2）由A∪B=B，可得A?B，则a＜﹣1或a﹣4＞5，求解即可得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，集合A=[﹣4，0]，B={x|x＜﹣1或x＞5}，则A∩B=[﹣4，0]∩{x|x＜﹣1或x＞5}=[﹣4，﹣1），A∪B=[﹣4，0]∪{x|x＜﹣1或x＞5}=（﹣∞，0]∪（5，+∞）；（2）由A∪B=B，可得A?B，∴a＜﹣1或a﹣4＞5．解得a＜﹣1或a＞9．故实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了交集及并集运算，是基础题．21.(本小题满分14分)设函数，若不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数在上