《高等数学》课件第八章

高等数学演讲人姓名数量关系—第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数第八章第一节四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算

第八章一、向量的概念表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,记作e

或e.或a.规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;向量的加法01三角形法则:02平行四边形法则:03运算规律:04交换律05结合律06三角形法则可推广到多个向量相加.07二、向量的线性运算2.向量的减法三角不等式可见是一个数,规定:总之:运算律:结合律分配律因此与a的乘积是一个新向量,记作3.向量与数的乘法定理1.设

a

为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b反向时取负号,,a,b

同向时取正号则b

与

a

同向,设又有b＝

a,010203040506070809则例1.设M为解:ABCD对角线的交点,,b同向已知b＝a,b＝0,b反向a∥b“”三、空间直角坐标系ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念ⅠzOx面坐标轴:坐标面:在空间直角坐标系下,01设02沿三个坐标轴方向的分向量,03此式称为向量r的坐标分解式,04任意向量r可用向径OM表示.05记062.向量的坐标表示在直角坐标系下向径坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点O(0,0,0);010203则平行向量对应坐标成比例:设四、利用坐标作向量的线性运算求解以向量为未知元的线性方程组例2.解:①②2×①－3×②,得代入②得在AB所在直线上求一点M,使01解:设M的坐标为02如图所示03及实数04得05即06例3.已知两点说明:由中点公式:点M为AB的中点,得定比分点公式:于是得向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影01证:03为等腰三角形.05为顶点02即04的三角形是等腰三角形.例4.求证以例5.在z轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在

xOy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点.(1)如何求在

xOy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点解:求与AB方向相同的单位向量e.方向角的余弦称为其方向余弦.与三坐标轴的夹角,,的夹角.任取空间一点O,为其方向角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.称=∠AOB(0≤≤)为向量设有两非零向量2.方向角与方向余弦方向余弦的性质:和解:的模、方向余弦和方向角.计算向量例7.已知两点例8.设点A位于第一卦限,第二节解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹3.向量在轴上的投影第二节01则a在轴u上的投影为02例如,03在坐标轴上的投影分别为04设a与u轴正向的夹角为,05,即06投影的性质070809(为实数)例9.设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且求OA在OM

方向上的投影.解:

如图所示,记∠MOA=,作业

P123,5,13,14,15,18,19解:因设求向量在x轴上的投影及在y轴上的分向量.P13(19)在y轴上的分向量为故在x轴上的投影为备用题设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为对角线的长为解：为边的平*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积

第八章一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称

记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为记作1性质3则有5故2为两个非零向量,46交换律01结合律02分配律03事实上,当04时,显然成立;053.运算律证:如图.则设例1.证明三角形余弦定理01设05由于04为非零向量时,02则03当06两向量的夹角公式07,得4.数量积的坐标表示AMB.解:则求故例2.已知三点二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,引例.设O为杠杆L的支点,则力F作用在杠杆上的力1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:

右图三角形面积S＝2015为非零向量,则2019分配律2016∥2020结合律2017∥2021(证明略)2018运算律2022证明:2.性质设则4.向量积的坐标表示式向量积的行列式计算法角形ABC的面积.解:如图所示,求三例4.已知三点定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其三、向量的混合积2.混合积的坐标表示设01三个非零向量02共面的充要条件是03轮换对称性:04(可用三阶行列式推出)3.性质),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例6.已知一四面体的顶点例7.已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、1四点共面,求点M的坐标x、y、z所满足的方程.2解:A、B、C、M四点共面3展开行列式即得点M的坐标所满足的方程4AM、AB、AC三向量共面5即6内容小结01设02向量运算03加减:04数乘:05点积:06叉积:07混合积:01向量关系:02设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:用向量方法证明正弦定理:夹角的正弦与余弦.思考与练习

01所以

02因证:由三角形面积公式第三节2曲面方程的概念5曲面及其方程3旋转曲面6第八章1二次曲面4柱面一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.定义1.如果曲面S

与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).故所求方程为01方程.02特别,当M0在原点时,球面方程为03解:设轨迹上动点为04即05依题意06距离为R的轨迹07表示上(下)球面.08例1.求动点到定点解:配方得可见此方程表示一个球面说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为球心为一个球面,或点,或虚轨迹.例2.研究方程二、旋转曲面定义2.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,给定yOz面上曲线C:若点给定yOz面上曲线C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z

轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yOz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例4.求坐标面xOz上的双曲线分别绕x1轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.2解:绕x轴旋转3绕z轴旋转4这两种曲面都叫做旋转双曲面.5所成曲面方程为6所成曲面方程为7三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xOy面上，表示圆C,平行于

z轴直线l沿圆周C移动而形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.直线l沿着定曲线C

平行移动

形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xOy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.z

轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xOz面上的曲线l3.母线柱面,准线xOy面上的曲线l1.母线准线yOz面上的曲线l2.母线四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面.(二次项系数不全为0)1.椭球面范围：与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面椭圆抛物面双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)(p,q同号)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.椭圆抛物面双曲抛物面（鞍形曲面）3.双曲面01单叶双曲面02椭圆.03时,截痕为04(实轴平行于x轴；05虚轴平行于z轴）06平面07上的截痕情况:08双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面P18双曲线01椭圆02注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:03双曲线04单叶双曲面05双叶双曲面06图形074.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到,见P28)内容小结1.

空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程

椭球面

抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

双曲面:单叶双曲面双叶双曲面

椭圆锥面:斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y

轴的直线平行于yOz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z

轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形:21题10答案:在xOy面上2.P30题3,10作业P302;4;7;8(1),(5);11第四节第八章空间曲线的一般方程空间曲线及其方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线及其方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C一、空间曲线的一般方程又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:01称它为空间曲线的参数方程.02例如,圆柱螺旋线03的参数方程为04上升高度05,称为螺距.06A07N0801解:(1)03将第二方程变形为05得所求为02根据第一方程引入参数,04故所求为例1.将下列曲线化为参数方程表示:绕z轴旋转01时的旋转曲面方程.02解:03点M1绕z轴旋转,04后到点05则06这就是旋转曲面满足的参数方程.07例2.求空间曲线:消去t和,得旋转曲面方程为绕z轴旋转所得旋转曲面方程为例如,直线绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为01010203又如,xOz面上的半圆周说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如0203设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xOy面上的投影曲线C´为消去x得C在yOz面上的投影曲线方程12345消去y得C在zOx面上的投影曲线方程消去x得C在yOz面上的投影曲线方程三、空间曲线在坐标面上的投影例如,1在xOy面上的投影曲线方程为201所围的立体在xOy面上的投影区域为:02上半球面03和锥面04在xOy面上的投影曲线05二者交线06所围圆域:07二者交线在08xOy面上的投影曲线所围之域.又如,内容小结

空间曲线三元方程组或参数方程

求投影曲线(如,圆柱螺线)思考与练习P37题1，2，7（展示空间图形）第五节平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程第八章01设一平面通过已知点02且垂直于非零向03称①式为平面的点法式方程,04求该平面的方程.05法向量.06量07则有08故09一、平面的点法式方程01即03的平面的方程.02解:取该平面的法向量为04利用点法式得平面的方程例1.求过三点此平面的方程也可写成一般情况:的平面方程为说明:过三点此式称为平面的截距式方程.01时,02平面方程为03分析:利用04按第一行展开得05即06特别,当平面与三坐标轴的交点分别为设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数即显然方程②与此点法式方程等价,的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.二、平面的一般方程特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y

轴的平面;平行于z

轴的平面;平行于xOy

面的平面;平行于yOz

面的平面；平行于zOx

面的平面.例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.1例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.2解:3因平面通过x轴,4设所求平面方程为5代入已知点6得7化简,得所求平面方程8设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角的余弦为两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.即0102030405三、两平面的夹角特别有下列结论：例4.一平面通过两点因此有垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且例5.设外一点,求解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)解:设球心为01求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成02则它位于第一卦限,且03因此所求球面方程为04四面体的球面方程.05故06例6.内容小结1一般式3截距式5平面基本方程:2点法式4三点式6平面01平面02垂直:03平行:04夹角公式:052.平面与平面之间的关系求过点且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得备用题第六节空间直线方程空间直线及其方程1线面间的位置关系2空间直线及其方程3第八章401因此其一般式方程02一般式方程03直线可视为两平面交线，04(不唯一)一、空间直线方程01故有02说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.03设直线上的动点为04则05此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)06直线方程为07已知直线上一点08例如,当09和它的方向向量2.对称式方程设得参数式方程:3.参数式方程AEDFBC再求直线的方向向量令x=1,解方程组交已知直线的两平面的法向量为,得是直线上一点.解:先在直线上找一点.例1.用对称式及参数式表示直线01故所给直线的对称式方程为02参数式方程为03解题思路:04先找直线上一点;05再找直线的方向向量.06是直线上一点两直线的夹角设直线L1,L2的方向向量分别为线面间的位置关系则两直线夹角满足两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)特别有:2直线L2的方向向量为3二直线夹角的余弦为1解:直线L1的方向向量为5从而4(参考P45例2)例2.求以下两直线的夹角当直线与平面垂直时,规定其夹角为01线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;0203直线与平面的夹角04当直线与平