中国矿业大学《概率论与数理统计》课件-第六章 样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布

§6.1随机样本

§6.2抽样分布100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：1.估计这批合金材料的强度均值是多少?(参数的点估计问题）2.强度均值在什么范围内？(参数的区间估计问题）3.若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这批材料是否合格？(参数的假设检验问题）引例

某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。下面首先引入一些数理统计中的基础知识.§6.1

随机样本一、总体二、样本一、总体研究对象的某项数量指标值的全体称为总体.总体中每个研究对象(元素)称为个体(样品).一个统计问题总有它明确的研究对象.例如：测试矿大全体男生的身高.总体有限总体无限总体总体可以用一个随机变量X

及其分布来描述.此总体就可以用随机变量X

或其分布函数例如，研究某批灯泡的寿命时，这批灯泡中每个灯泡的寿命是我们所关心的指标.表示.二、样本样本

在总体中抽取的部分个体.样本容量

样本中所含个体的数目n.定义

为了准确地进行判断，对抽样有所要求：①代表性：样本的每个分量与总体X有相同的分布函数；②独立性：为相互独立的随机变量，满足以上条件的样本称为来自总体X的容量为n的一个简单随机样本（简称样本）.样本的一次具体实现称为样本值.联合分布函数为联合概率密度为§6.2抽样分布一、统计量的定义及常用的统计量二、几种常用的分布三、正态总体统计量的分布的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些合适的依赖于样本它是完全由样本决定的量.息集中起来.一、统计量的定义及常用的统计量定义1

设

是来自总体X的一个样本，为一实值连续函数，其不包含任何未知参数，则称为一个统计量.为的观测值.注：仍为随机变量.是一个数.例如总体是一个样本，则均为统计量.当未知时，均不是统计量；当已知时，其为统计量.对于样本函数几种常用的统计量1.样本均值2.样本方差设是来自总体X的一个样本，它反映了总体X取值的平均值的信息，常用来估计EX3.样本标准差4.样本k

阶原点矩5.样本k

阶中心矩它反映了总体k

阶矩的信息。可见它们的观察值分别为：统计量是样本的函数，它是一个随机变量.证由于是独立同分布的随机变量，且例1

设总体X的数学期望为其样本为下面介绍几种常用的统计量的分布统计量的分布称为抽样分布。记为1.

定义

设相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为

n

的分布.分布(一)二、几种常用的分布分布的概率密度为来定义.通过积分其中伽玛函数分布的概率密度相互独立,都服从则(1)

设2.性质正态分布证明因为所以又X1,X2,…,Xn

相互独立，也是相互独立的。且X1,X2相这个性质叫分布的可加性.(2)设互独立，则则可以求得，E(X)=n,D(X)=2n(3)若证明所以3.c2分布的分位点称满足条件定义对于给定的正数的点为的上分位点.231页查表记为T～t(n).所服从的分布为自由度为n的t分布.1.定义:设X～N(0,1),Y～则称变量,且X与Y相互独立，（二）t分布t(n)

分布的概率密度为t分布的概率密度关于x=0对称.当n充分大时，其图形类似于标准正态分布概率密度的图形.（1）具有自由度为n的t分布的随机变量T的（2）t分布的概率密度关于x=0对称2.性质E(t)=0;D(t)=n/(n-2),对n>2.数学期望和方差为当n充分大时，其图形类似于标准正态分布概率密度的图形.（138页）但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.（3）t

分布的分位点称满足条件定义

对于给定的正数的点

为

分布的上

分位点.性质：例0因为由图可知所以查表可得故则称点为标准正态分布的上α分位点.定义

设，若满足条件1.定义

设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，（三）F分布记作F~F(n1,n2).即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.(2)X的数学期望为:若n2>2(1)由定义可见，~F(n2,n1)2.性质若n2>4(3)F

分布的分位点对于给定的正数称满足条件分位点.分布的上的点为证

设由定义又因为故统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！！1.单正态总体的抽样分布

定理1设X1,X2,…,Xn

是取自正态总体的样本，分别为样本均值和样本方差，则有⑴⑵⑶相互独立三、正态总体的抽样分布证：因为独立，所以也独立，只证明结论(1)，结论(2)，(3)见第六章附录.定理2

设总体X服从正态分布是X的样本，分别为样本均值和样本方差，则有⑴⑵证因为是样本的线性组合，故，标准化后可得又因为相互独立，所以也相互独立.由t分布的定义得2.双正态总体的抽样分布

定理3设X1,X2,…,Xn1与Y1,Y2,…,Yn2分别是来自正态总体的样本，并且这两个样本相互独立，记则有⑴⑵

当时其中证

(1)因为

且相互独立,于是证⑵

当总体样本统计量描述作出推断随机抽样这一讲，我们介绍了数理统计的基本概念.熟记内容，灵活应用！例1

设总体X,Y相互独立其样本为试求统计量服从什么分布？解

由已知得所以例2

设总体X服从正态分布，其样本为解

由已知得所以故例3

已知总体X服从自由度为n的t分布，求证：解

由已知得其中故所以还能得例4

设总体X服从正态分布，其样本为解

由已知得，得例5

设总体X