空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

PAGEPAGE4空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．(2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b．③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉；②空间向量的数量积的性质：a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥ba·b＝0；|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．③空间向量的数量积的运算律：(a)·b＝(a·b)；交换律：a·b＝b·a；分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．(4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a＝(a1，a2，a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．③空间向量平行和垂直的条件：a∥b(b≠0)a＝ba1＝b1，a2＝b2，a3＝b3(∈R)；a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则A，B两点间的距离是2．空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，其中向量a叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l⊥平面，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量．由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面，的法向量分别是u，v，则①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；②l⊥ma⊥ba·b＝0；③l∥a⊥ua·u＝0；④l⊥a∥ua＝ku，k∈R；⑤∥u∥vu＝kv，k∈R；⑥⊥u⊥vu·v＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为，显然则②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a的方向向量是u，平面的法向量是v，直线a与平面的夹角为，显然，则∴∥，，∴MN//EF，AK//OG，∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD．解法二：设平面AMN的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b＝(b1，b2，b3)．由得取a3＝1，得a＝(2，－2，1)．由得取b3＝1，得b＝(2，－2，1)．∵a∥b，∴平面AMN∥平面EFBD．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)．设和所成的角为，则∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是解法二：取AB的中点P，CC1的中点Q，连接B1P，B1Q，PQ，PC．易证明：B1P∥MA，B1Q∥NC，∴∠PB1Q是异面直线AM和CN所成的角．设正方体的棱长为2，易知∴∴异面直线AM和CN所成角的余弦值是【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，取A1B1的中点D，则，连接AD，C1D．则∴DC1⊥平面ABB1A1，∴∠C1AD是直线AC1与平面ABB1A1所或的角．，∴直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，)，，从而设平面ABB1A1的法向量是a＝(p，q，r)，由得取p＝1，得a＝(1，0，0)．设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，，求二面角A－PB－C的平面角的余弦值．解法一：取PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．∵PA＝AC＝1，PA⊥AC，∴PC＝BC＝，∴CD⊥PB．∵EA⊥PB，∴向量和夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．如图建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(1，0，1)，由D是PB的中点，得D由得E是PD的中点，从而即二面角A－PB－C的平面角的余弦值是解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，，C(0，1，0)，P(0，0，1)，设平面PAB的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面PBC的法向量是b＝(b1，b2，b3)．由得取a1＝1，得由得取b3＝1，得b＝(0，1，1)．∵二面角A－PB－C为锐二面角，∴二面角A－PB－C的平面角的余弦值是【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；(Ⅱ)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC上是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角?若存在，求出PE∶EC的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设PA＝a，由已知可得A(0，0，0)，(Ⅰ)∵∴∴BC⊥AP．又∠BCA＝90°，∴BC⊥AC．∴BC⊥平面PAC．(Ⅱ)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点．∴由(Ⅰ)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∴∠DAE是直线AD与平面PAC所成的角．∴∴即直线AD与平面PAC所成角的余弦值是(Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE⊥平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP是二面角A－DE－P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，∠AEP＝90°，且故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角，此时PE∶EC＝4∶3．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，则二面角E－A1D1－D的平面角的正切值是()(A) (B)2 (C) (D)2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与平面A1ACC1所成角的大小是()(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()(A) (B) (C) (D)4．如图，⊥，∩＝l，A∈，B∈，A，B到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n，若a＞b，则下列结论正确的是()(A)＞，m＞n (B)＞，m＜n(C)＜，m＜n (D)＜，m＞n二、填空题：5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD所成的角是30°．设AE与CD所成的角为，则cos＝______．三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且C1E＝3EC．(Ⅰ)证明：A1C⊥平面BED；(Ⅱ)求二面角A1－DE－B平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．(Ⅰ)证明：直线MN∥平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．11．如图，已知直二面角－PQ－，A∈PQ，B∈，C∈，CA＝CB，∠BAP＝45°，直线CA和平面所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a、b和平面，下列命题正确的是()(A)若a∥b，b，则a∥ (B)若a∥，b，则a∥b(C)若a∥，b∥，则a∥b (D)若a⊥，b⊥，则a∥b2．正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为2，则该棱锥的体积为()(A)8 (B) (C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()(A) (B) (C) (D)4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()(A) (B)(C)2000cm3 (D)4000cm35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于()(A) (B) (C) (D)

二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则直线AB1和BC1所成角的余弦值是______．8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______．9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角．在折起后形成的三棱锥A－BCD中，有如下三个结论：①直线AD⊥平面BCD；②侧面ABC是等边三角形；③三棱锥A－BCD的体积是其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号)三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝AA1．(Ⅰ)求证：AD⊥B1D；(Ⅱ)求证：A1C∥平面A1BD；(Ⅲ)求二面角B－AB1－D平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，M为PC的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB⊥平面MAB；(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是A1C1、BC1的中点．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；(Ⅲ)求三棱锥M－BC1B1的体积．14．在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，，DC＝SD＝2．点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°．(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；(Ⅱ)求二面角S－AM－B的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B2．A3．B4．D二、填空题：5．60°6．27．8．三、解答题：9．以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz．依题设，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．(Ⅰ)∵∴A1C⊥BD，A1C⊥DE．又DB∩DE＝D，∴A1C⊥平面DBE．(Ⅱ)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则∴令y＝1，得n＝(4，1，－2)．∴二面角A1－DE－B平面角的余弦值为10．作AP⊥CD于点P．如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系．则A(0，0，0)，B(1，0，0)，，O(0，0，2)，M(0，0，1)，(Ⅰ)设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取，得∵∴MN∥平面OCD．(Ⅱ)设AB与MD所成的角为，即直线AB与MD所成角的大小为11．(Ⅰ)证明：在平面内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB．∵⊥，∩＝PQ，∴CO⊥．又∵CA＝CB，∴OA＝OB．∵∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴BO⊥PQ，又CO⊥PQ，∴PQ⊥平面OBC，∴PQ⊥BC．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC⊥OA，OC⊥OB，OA⊥OB，故以O为原点，分别以直线OB，OA，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO⊥，∴∠CAO是CA和平面所成的角，则∠CAO＝30°．不妨设AC＝2，则，CO＝1．在Rt△OAB中，∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∴设n1＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，由得取x＝1，得．易知n2＝(1，0，0)是平面的一个法向量．设二面角B－AC－P的平面角为，∴即二面角B－AC－P平面角的余弦值是习题1一、选择题：1．D2．B3．A4．B5．B二、填空题：6．7．8．99．510．①、②、③三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC．∵正△ABC中，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BB1C1C，∴AD⊥B1D．(Ⅱ)解：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE．∵AB＝AA1，∴四边形A1AB