必修不等关系与不等式

必修不等关系与不等式6/19/2023第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度(2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品------杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg(3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的高度。问题:上面的不等关系是用什么不等式表示的?请你举出生活中的一些不等关系的例子（一）.生活中的不等关系一、引入第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度()不小于第一宇宙速度(记作),且小于第二宇宙速度(记).(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.0<v≤4040(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.（二）.用不等式(组)表示不等关系引入第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期日

我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.思考一下什么是不等式？一、引入第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期日问题1.设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则ABBBdod≤|AB|.第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期日问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？思考(1)销售量减少了多少?(2)现在销售量是多少?(3)销售总收入为多少?第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期日解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：因此，销售总收入为：用不等式表示为：第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期日问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系.(2)用不等式（组）表示上述不等关系.分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？(3)截得两种钢管的数量都不能为负.(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍；(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期日上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈Nx,y∈N第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期日课堂练习：书本：P74，练习1、2（1）.a与b的和是非负数；（2）.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”（3）.在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系a+b≥00<h≤4

5m5m5m5m1、用不等式表示下面的不等关系：第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期日课堂练习2、有一个两位数大于50而小于60,其个位数字比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系1.分析:设个位数字为,十位数字为,则第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日不等式的概念：思考：第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日思考：

第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期日知识探究(二)：比较实数大小的基本原理

思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？

a＞b，a＝b，a＜b.思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？大数对应的点位于小数对应的点的右边第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期日思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？a－b＞0a＞b思考5：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？a－b=0a=b思考4：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？a－b＜0a＜b第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期日两数大小的比较第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期日例1．比较x2－x与x－2的大小.解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.比较两个数(式)的大小的方法:（1）作差（2）变形（3）判号（4）结论小结：作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期日例1-2：比较下面两式的大小：小结：作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。配方配方因式分解第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期日若b>a,结论又会怎样呢?第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期日1.不等关系和不等式小结3.作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期日作业一、交：P75，B1，A4、5二、不交：练习册第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日第二课时3.1不等关系与不等式不等式的性质第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日问题提出1.反映实数大小关系的基本原理是什么？a－b＞0a＞ba－b=0a=ba－b＜0a＜b2.用“差比法”比较两个代数式大小的一般步骤如何？作差→变形→判断符号第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期日探究（一）：不等式的基本性质

思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？a＞bb＜a（对称性）思考2：若甲a的身材比乙b高，乙的身材b比丙c高，那么甲a的身材比丙c高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞b，b＞ca＞c；a＜b，b＜ca＜c（传递性）第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期日思考3：再有一个不争的事实：若甲a的年薪比乙b高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞ba+c＞b+c（可加性）思考4：还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多.这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞b，c＞da+c＞b+d（同向可加性）第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期日思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么ac与bc的大小关系如何？为什么？思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？

a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc(可乘性)

a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd

(正数同向不等式可相乘)第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期日思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小关系如何？思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么与的大小关系如何？

a＞b＞0＞(n∈N*)(开方法则)

a＞b＞0an＞bn(n∈N*)

(乘方法则)第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期日第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期日不等式性质的理解(1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．(2)性质4中①当c>0时，得同向不等式．②当c<0时，得异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc.(3)性质5是同向不等式相加得同向不等式，但并无相减式．(4)性质6是均为正数的同向不等式相乘得同向不等式，并无相除式．(5)性质7、8成立的条件：n是大于1的整数，a>b>0，这个条件不能忽略，当n取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，2．第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期日练习：用“>”,”<“号填空判断下列命题的真假第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期日用不等号>，<,≠填空第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日例1已知a＞b＞0，c＜0，求证:.第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日题型一用不等式(组)表示不等关系配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y应满足的不等关系式．[思路探索]根据甲、乙两种原料的限额列不等式．【例1】第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期日已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[思路探索]先作差，然后因式分解变形．解

x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2题型二比较大小【例2】第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期日作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形．一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算性质、分母或分子有理化等．另外还要注意分类讨论．第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期日 已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．解∵(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)【变式2】第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期日用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步．第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期日已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假．(1)若a>b，则ac<bc；(2)若ac2>bc2，则a>b；(3)若a<b<0，则a2>ab>b2；审题指导

判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系．题型二不等式性质的应用【例3】第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期日[规范解答](1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，故该命题为假命题． (2分)(2)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，∴a>b，故该命题为真命题(4分)第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期日(5)由已知条件知a>b⇒a－b>0，∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.又a>b，∴a>0，b<0，故该命题为真命题． (12分)【题后反思】利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用．第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期日【变式3】判断下列各命题是否正确，并说明理由．第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期日第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期日设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．误区警示

运用不等式性质不当致错【示例】第四