利用函数性质判定方程解存在课件20212022学年高一数学同步北师大版2019必修第一册

5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期f(x0)＝0

的数x0交点的横坐标零点要点二

零点存在定理若函数

y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条

连续

的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即

f(a)·f(b)

<0，则在开区间(a，b)内，函数

y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0

至少有一个解．笔记概要(1)

一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a

，b]上的图象是一条连续不断的曲线；

1x②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知xf(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然y＝1在(－1,1)内没有零点．零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c

也就是方程

f(x)＝0

的根．2[基础自测]1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有的函数都有零点．(×)若方程f(x)＝0

有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．(

×

)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(×)(4)函数

y＝2x－1

的零点是1.(

√

)x2．函数

f(x)＝ln

(x＋1)－2的零点所在的一个区间是(

)A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)解析：f(1)＝ln

2－2＜0，f(2)＝ln

3－1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴函数f(x)的一个零点区间为(1,2)．答案：B3．函数

f(x)＝x3－x

的零点个数是(

)A．0

B．1

C．2

D．3解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3

个．答案：D4．若函数f(x)＝x2－ax－b

的两个零点是2

和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1

的零点是

.解析：由32－3a－b＝0，22－2a－b＝0，

a＝5，得b＝－62

3∴g(x)＝－6x2－5x－1

的零点是－1，－1.答案：－1，－12

3解析：由图观察，A

中图象与x轴没有交点，所以A

中函数没有零点．答案：A2．如果函数f(x)＝ax＋b

有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(

)A．0,21

1

1B．0，

C．0，－

D．2，－2

2

2解析：由题意知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a，则g(x)＝bx2－ax＝12－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．由g(x)＝0

得x＝0

或x＝－，故函数g(x)2的零点是0，－1.答案：Cx3．函数

f(x)＝x－1的零点是

．解析：令

f(x)＝x－1＝0得

x＝±1.∴函数

f(x)＝x－1的零点是±1.x

x答案：±14．函数

f(x)＝log2x－1

的零点为

．解析：令f(x)＝log2x－1＝0，得x＝2，所以函数f(x)的零点为2.答案：2【方法归纳】函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x

轴的交点的横坐标即为函数的零点．题型二 函数零点个数的判断1x－1的零点个数是(

)例

1

(1)函数

f(x)＝ln

x－A．0B．1C．2D．3(2)已知函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数

a

的取值范围是

．画出函数y＝2|x－1|＋x

与y＝a的图象．解析：(2)函数f(x)＝2|x－1|＋x－a

有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x

与y＝a

的图象有且仅有两个交点．分别作出函数y＝2|x－1|＋x

与y＝a

的图象，如图所示．由图易知，当a>1

时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a

的取值范围是(1，＋∞)．答案：(2)(1，＋∞)【方法归纳】1．确定函数零点个数的方法：①结合零点存在定理和函数单调性；②转化为两个函数图象的交点个数．1跟踪训练

1 (1)函数

f(x)＝

2x－x3－2在区间(－1,0)内的零点个数是(

)A．0

B．1

C．2

D．31

1解析：(1)因为函数f(x)＝

2

x－x3－2

为减函数，又f(－1)＝

2

－1－(－11)3－2＝1>0，f(0)＝

2

0－(0)3－2＝－1<0.故函数f(x)在区间(－1,0)内的零点个数是1.答案：(1)B(2)若函数

f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，则实数

a

的取值范围是(

)－1，

5

－1，

5

－1A.

8

24

B.

8 24

∪

6－11

5C.

－

，0

0，8

∪

24

D.

6解析：(2)∵f(x)＝24ax2＋4x－1，∴f(0)＝－1≠0，x＝0

不是函数的零点．∴当x≠0

时，由f(x)＝24ax2＋4x－1＝0.1－4x24x1

11

1得

a＝

2

＝

x

2－

·

＝1

1－2124 6

x

24

6x

2－

.x令t＝1，则t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，24

6

24

8

6令g(t)＝

1

(t－2)2－1，则g(－1)＝

5

，g(1)＝－1，g(2)＝－1.题型三 函数零点所在区间的判断探究

1

确定零点所在区间例

2

方程

log3x＋2x－8＝0

的解所在区间是(

)A．(1,2)

B．(2,3)

C．(3,4)

D．(5,6)解析：∵f(x)＝log3x－8＋2x，∴f(1)＝log31－8＋2＝－6<0，f(2)＝log32－8＋4<0，f(3)＝log33－8＋6＝－1<0，f(4)＝log34>0，f(5)＝log35＋2>0，f(6)＝log36＋4>0，∴f(3)·f(4)<0，又函数f(x)＝log3x－8＋2x

的图象是连续的．∴函数

f(x)的零点所在区间是(3,4)．

答案：C【方法归纳】判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．探究

2

根据函数零点所在区间确定参数范围例

3

若函数

f(x)＝3x2－5x＋a

的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数

a

的取值范围是

．笔记概要确定函数的零点所在的区间时，通常利用函数零点存在定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号．x(1)在下列区间中，函数f(x)＝6－log2x

的零点所在区跟踪训练2间为(

)1，1A.

2

B．(1,2)

C．(3,4)

D．(4,5)x解析：(1)因为函数f(x)＝6－log2x

是减函数．又f(3)＝2－log23>0，3f(4)＝2－2<0，根据零点存在定理得到函数f(x)在区间(3,4)上存在零点．答案：(1)C(2)已知函数f(x)＝ln

x－m

的零点位于区间(1，e)内，则实数m的取值范围是

．解析：(2)令f(x)＝lnx－m＝0，得m＝ln

x，因为x∈(1，e)，所以ln

x∈(0,1)，故m∈(0,1)．答案：(2)(0,1)易错题

讨论不全导致错误例

4

若函数

f(x)＝ax2－x－1

有且仅有一个负零点，则实数

a的取值范围是

．解析：①当a＝0

时，由f(x)＝－x－1＝0

得x＝－1，符合题意．②当a>0

时，函数f(x)＝ax2－x－1

为开口向上的抛物线，且f(0)＝2a－1<0，对称轴x＝

1

>0，∴f(x)必有一个负实根，符合题意．③当

a<0

时，x＝

1<0，f(0)＝－1<0，∴Δ＝1＋4a＝0，即

a＝－1.2a