天津精治中学2021年高三数学理月考试卷含解析

天津精治中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线x+-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于

A.

B.

C.

D.1参考答案：B．求弦长有两种方法，一、代数法：联立方程组，解得A、B两点的坐标为，所以弦长；二、几何法：根据直线和圆的方程易知，圆心到直线的距离为，又知圆的半径为2，所以弦长.2.已知函数，若方程在上有3个实根，则k的取值范围为（）A.

B.

C.

D.参考答案：B当时，，则不成立，即方程没有零解.?当时，，即，则设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；?当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.故选B.3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E满足，则的值为（

）A．1

B．3

C．

D．参考答案：A由四边形ABCD为矩形，由数量积几何意义知：.故选：A

4.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若a=2bcosA，B=，c=1，则△ABC的面积等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．【分析】由已知及正弦定理化简已知等式可得tanA=，结合A为三角形内角，可得A=B=C=，由三角形面积公式即可得解．解：∵a=2bcosA，∴由正弦定理可得：sinA=2sinBcosA，∵B=，可得sinA=cosA，∴解得tanA=，A为三角形内角，可得A=，C=π﹣A﹣B=，∴S△ABC=acsinB==．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．5.【题文】复数,则对应的点所在的象限为(

)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4D

解析：∵复数z=1﹣i，∴+z==+1﹣i=+1﹣i=对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．【思路点拨】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．6.在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于（

）

A．

B．1

C．6

D．3高考资源网参考答案：B略7.i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k的范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.若函数f（x）=,若f（a）>f（―a）,则实数a的取值范围是

（

）

A．（1，0）∪（0，1）

B．（∞，1）∪（1，+∞）

C．（1，0）∪（1，+∞）

D．（∞，1）∪（0，1）参考答案：C9.函数的零点所在区间（）A． B． C．（1，2） D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】由题意可知函数在（0，+∞）单调递增，且连续f（1）?f（2）＜0，由根的存在性定理可求【解答】解：由题意可知函数在（0，+∞）单调递增，且连续f（）=，f（1）=log21﹣1＜0，由根的存在性定理可得，f（1）?f（2）＜0故选：C【点评】本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）?f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上至少存在一个零点，函数与方程的思想得到了很好的体现．10.定义在上的函数满足，若关于x的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是(

) A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为1的正三角形ABC中，，则的值等于

。参考答案：12.已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P—ABC的内切球的体积为

▲

．参考答案：π【知识点】多面体与球G8三棱锥P-ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4=，∴a=6，

∴三棱锥P-ABC棱长为3，三棱锥P-ABC的高为2，

设内切球的半径为r，则4×r×S△ABC=S△ABC×2，

∴r=，∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为=π．【思路点拨】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．13.定义：对于区间,则为区间长度.若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数的取值范围是________________.参考答案：或

14.将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为______．参考答案：【知识点】函数的图象变换；正弦函数的图象．C3C42

解析：把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：，向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：。∵所得的两个图象对称轴重合，∴①，或②．解①得，不合题意；解②得，k∈Z．∴的最小值为2．故答案为：2．【思路点拨】由三角函数的图象平移得到平移后的两个函数的解析式，再由两函数的对称轴重合得到或．由此求得最小正数的值．15.设集合A=，B=，则实数的值为______.参考答案：116.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线和直线，所围成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；由同时满足，，，的点构成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为，根据祖暅原理等知识，通过考察可以得到的体积为

．参考答案：．作出两曲线所表示的可行区域知，的轴截面为一半径为的半圆内切两半径为的小圆所形成，面积近似为的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又的体积为，于是所表示几何体的体积应为．故填．【解题探究】本题以数学史中祖暅原理为命题背景，考查旋转体的体积求解和类比推理能力．解题时首先由问题给出的图形旋转，求出旋转体的体积，然后利用祖暅原理分析出旋转体的体积与旋转体的体积之间的关系，进而得到的体积．17.若双曲线C的右焦点F关于其中一条渐近线的对称点P落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB??AC，点E，F分别在棱BB1

，CC1上（均异于端点），且∠ABE?∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC//

平面AEF．参考答案：证明：（1）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1

//

CC1．

因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．

……2分

又AE⊥BB1，AEAF，AE，AF平面AEF，

所以BB1⊥平面AEF．

……5分

又因为BB1平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．

……7分

（2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE?∠ACF，AB??AC，

所以△AEB

≌△AFC．

所以BE

?

CF．

……9分

又由（1）知，BE

???CF．

所以四边形BEFC是平行四边形．

从而BC

??

EF．

……11分

又BC平面AEF，EF平面AEF，

所以BC//

平面AEF．

……14分19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴张半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为x+y﹣2=0，圆C的极坐标方程为ρ2=aρsinθ，即x2+y2=ay，把a=2代入可得；（Ⅱ）易得圆的圆心为（0，），半径为，可得圆心到直线的距离d，由圆的弦长和半径以及d的关系可得a的方程，解方程可得．【解答】解：（Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为x+y﹣2=0，∵圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=aρsinθ，∴x2+y2=ay，当a=2时，可得圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，化为标准方程可得x2+（y﹣1）2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣）2=，∴圆心为（0，），半径为，∴圆心到直线l：x+y﹣2=0的距离d=，∵直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，∴（）2=（）2+（）2，解得a=2．【点评】本题考查参数方程和极坐标方程，涉及直线和圆的位置关系，属中档题．20.等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0，数列{bn}为等比数列，且b2=a2，b3=a5，b4=a14．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}对任意n∈N*均有++…+=an成立，求c1+c2+…+cn（n≥2）参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）设等比数列{bn}的公比为q，由于b2=a2，b3=a5，b4=a14．利用等差数列与等比数列的通项公式可得：qb1=1+d，q2b1=1+4d，q3b1=1+13d，联立解得即可．（II）由于数列{cn}对任意n∈N*均有++…+=an成立，可得当n=1时，c1=a1b1．当n≥2时，可得=an﹣an﹣1=2，可得cn=2×3n﹣1．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{bn}的公比为q，∵b2=a2，b3=a5，b4=a14．∴qb1=1+d，q2b1=1+4d，q3b1=1+13d，联立解得b1=1，q=3，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3n﹣1．（II）∵数列{cn}对任意n∈N*均有++…+=an成立，∴当n=1时，c1=a1b1=1．当n≥2时，++…+=an﹣1，可得=an﹣an﹣1=2，∴cn=2×3n﹣1．∴n≥2时，c1+c2+…+cn=1+2（3+32+…+3n﹣1）=1+2×=3n﹣2．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=ex﹣1﹣，a∈R．（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意可知：由函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，等价于g′（x）=xex﹣a﹣1在（0，1）上有且仅有一个变号零点，构造辅助函数，根据函数的单调性，即可求得a的范围；（2）由题意，利用分析法，由结论可得（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈，H′（x）=e