浙江省温州市昆阳镇第一中学2022年高二数学理期末试题含解析

浙江省温州市昆阳镇第一中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中，分别是的对边，若，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆 B．两条直线C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线参考答案：C【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0?ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．3.已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点P（1，0）处的切线与直线3x+y=0平行．则a、b的值分别为（）A．﹣3，2 B．﹣3，0 C．3，2 D．3，﹣4参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，由两直线平行的条件，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值．【解答】解：f'（x）=3x2+2ax，依题意有：f'（1）=3+2a=﹣3，∴a=﹣3．又f（1）=a+b+1=0∴b=2．综上：a=﹣3，b=2故选A．4.在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（

）A

B

C

D

参考答案：B略5.按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是（）

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C6.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＝-(≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边的项是()A．1

B．1＋

C．1＋＋

D．1＋＋+参考答案：C7.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是(

)A.(1－ln2)

B.(1＋ln2)

C.

D.(1＋ln2)参考答案：B略8.“若，则是函数的极值点，因为中，且，所以0是的极值点.”在此“三段论”中，下列说法正确的是（）A．推理过程错误

B．大前提错误

C．小前提错误

D．大、小前提错误参考答案：B略9.（本小题满分5分）若函数f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()A．[－1，＋∞)

B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(－∞，－1]参考答案：D10.算法的有穷性是指（

）A．算法必须包含输出

B．算法中每个操作步骤都是可执行的C．算法的步骤必须有限

D．以上说法均不正确参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某篮球运动员在三分投球的命中率是，他投球5次，恰好投进2个的概率是参考答案：12.若成等比数列，其公比为2，则=

。参考答案：略13.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是__________．参考答案：225

略14.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________．参考答案：略15.设，定义为的导数，即，，若的内角满足，则的值是

.参考答案：16.已知，数列的前项和为,,则的为_____.参考答案：17.在等差数列{an}中，若mp+np=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则map+naq=mak+nat；类比以上结论，在等比数列{bn}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则

．参考答案：map?naq=mak?nat结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am?an=ap?aq．解：类比上述性质，在等比数列{an}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则map?naq=mak?nat，故答案为：map?naq=mak?nat．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知抛物线C:，的焦点为F，ABQ的三个顶点都在抛物线C上，点M为AB的中点，（1）若M，求抛物线C方程；（2）若的常数，试求线段长的最大值。参考答案：【知识点】抛物线方程的求法；根与系数的关系；弦长公式；二次函数的值域.【答案解析】（1）（2）.解析：解：（1）由题意可得F，设点，因为，，∴．代入抛物线C：，求得，由题意M在抛物线内部，所以,故抛物线C：．（2）设直线AB的方程为，点，，由得于是，，所以AB中点M的坐标为由，得，所以，由得，由，得，

又∵记（），

易得=，故|AB|的最大值为.【思路点拨】（1）设点，，根据，求得．再把点Q的坐标代入抛物线C：，求得p的值，可得抛物线C的方程．

（2）设直线AB的方程为，代入抛物线的方程，利用韦达定理、中点公式求得AB中点M的坐标，由，求得．由，求得m的范围，利用弦长公式求得|AB|，根据函数上是增函数，求得的最大值，可得|AB|的最大值．19.（10分）设函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在[1，3]上不存在单调增区间，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）将a=2代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=2时，f（x）=lnx+x2﹣4x+4，（x＞0），f′（x）=+2x﹣4=，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，故f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（2）f′（x）=+2x﹣2a=，x∈[1，3]，设g（x）=2x2﹣2ax+1，假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，于是，解得：a≥．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题．20.已知，是夹角为60°的单位向量，且，。(1）求；(2）求与的夹角。参考答案：（1）＝（＝－6＋＋2＝；(2），同理得，所以，又，所以＝120°。21.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）画图像；（3）若对于任意的实数x恒有成立，求实数a的取值范围．参考答案：（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据绝对值的定义，将转化为三个不等式组，最后求出三个不等式组解集的并集；（2）求出函数分段函数的形式，即可画出的图像；（3）利用绝对值的三角不等式求出的最小值，即可求出实数的取值范围。【详解】（1）不等式等价于：或或解得：或，故不等式的解集为，（2）由题可得：则图像如下图：（3）由绝对值的三角不等式，所以函数的最小值为3，要使对于任意的实数恒有成立，则，解得：，故实数的取值范围为。【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及恒成立的问题，零点分段讨论法是解绝对值不等式常用的方法，恒成立的问题一般用绝对值的三角不等式来求解。22.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．

参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AB1，交A1B于点O，由三角形中位线定理得OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1DB．（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1中点，∵D为AC中点，∴OD∥B1C，∵OD?平面A1DB，B1C?平面A1DB，∴B1C∥平面A1DB．解：（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1