4圆周角和圆心角的关系

第三章圆圆周角和圆心角的关系第2课时.问题导入1.什么是圆周角？

特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.●OBACDE2.什么是圆周角定理？

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半..新知讲解BCOA如图，BC

是⊙O

的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？.新知讲解如图，圆周角∠A=90°，弦BC

是直径吗？为什么？∴∠BOC=2∠A=180°，∴弦BC

是直径.BCOA.归纳总结推论直径所对的圆周角是直角；

90°的圆周角所对的弦是直径..典例精析例、如图，⊙O的直径AB

=10cm，C为⊙O上一点，∠B=30°，求AC的长.

.点拨解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.

.练一练如图所示，已知经过原点的⊙P

与x

轴、y

轴分别交于A，B

两点，点C

是弧AB

上一点，则∠ACB

的度数是（）80°B.90°C.100°D.无法确定B.议一议BCODA（1）如图，A，B，C，D

是⊙O

上的四点，AC为⊙O

的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？∴∠BAD=∠BCD=90°.

∵直径所对的圆周角是直角.∴∠BAD+∠BCD=180°..新知讲解（2）如图，点C

的位置发生了变化，∠BAD与BCD之间关系还成立吗？为什么？∠BAD+∠BCD=180°还成立.BCODA

12.新知讲解BCODABCODA在上面两图中，四边形ABCD

的四个顶点都在⊙O

上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆..归纳圆内接四边形的对角互补.推论.想一想如图，∠DCE

是圆内接四边形ABCD

的一个外角，∠A

与∠DCE

的大小有什么关系？BCODAE根据圆内接四边形的对角互补，∠A+∠BCD=180°.

又∠BCD+∠DCE=180°.∴∠A=∠DCE..练一练1.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠C=1∶2,则∠A的度数等于(

)A.30° B.45°

C.60° D.80°2.如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的☉O中,且∠C=2∠A,则BD=

.

C.典例精析例、在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）.变式训练已知∠OAB等于40°,求∠C

的度数.解：延长AO至D，交圆于点D，连接BD∴∠ABD=90°∵∠OAB=40°∴∠ADB=50°∴∠C=180°-50°=130°AODBC.归纳1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想

直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，

遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中

作辅助线的常用方法．2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行

两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之

间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等

的问题..课堂练习

DC.课堂练习3.

如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点.若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为

.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,☉O经过点A,C,D,与BC交于点E,连接AE.若∠D=70°,则∠BAE=

°.

240.课堂练习

解:∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,∴∠BAO=60°.∵∠AOB=90°,∴∠ABO=30°,∴AB=