等差数列的前n项和

2.3等差数列的

前n项和高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1＋

2＋

3＋…＋

99＋100计算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋

2＋

3＋…＋

(n-1)＋n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形n＋

(n-1)＋

(n-2)＋…＋

2＋1倒序相加法那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②高斯的算法问题分析已知等差数列｛an

｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.如何才能将等式的右边化简？①②由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成差由等数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn

：（1）a1=5，an=95，n=10

（2）a1=100，d=－2，n=50练一练5002550已知等差数列{an}．(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[思路探索]根据等差数列前n项和公式解方程．题型一

与等差数列前n项和有关的基本量的计算【例1】a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．在等差数列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.【变式1】题型三

利用Sn求an已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.解

(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.(2)当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，【例3】(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．

已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.解

a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.【变式3】课