2023学年完整公开课版椭圆

椭圆（复习课第一课时）

复习指导 椭圆是圆锥曲线的重要内容．主要考查运用直接法、定义法、待定系数法求椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质、椭圆定义的综合运用以及椭圆中各量的计算，尤其求椭圆的离心率或离心率的范围是高考的热点，题型有填空题、解答题，属中档题．考点梳理1．椭圆的定义

(1)在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两定点叫做椭圆的

，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．

(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若

，则集合P为椭圆； ②若

，则集合P为线段； ③若

，则集合P为空集．

椭圆焦点焦距a＞ca＝ca﹤c2．椭圆的标准方程和几何性质2a

2b

2c

(0,1)a2－b2

考向一：椭圆的标准方程

【训练1】(2013·西安模拟)过点(，－)，且与椭圆

有相同焦点的椭圆的标准方程。

【训练2】与椭圆有相同的离心率，焦点在x轴，

且经过点(2，－)的椭圆的标准方程．

【训练3】已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两个点P1(,1)，P2(-,-),求椭圆的方程。【变式】与椭圆有相同的离心率，

且经过点(2，－)的椭圆的标准方程。两种方法求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程；(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．【训练5】已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是

．

【训练6】(2013·嘉兴测试)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是

．考向二：椭圆定义的应用【训练1】

平面内到点F1(－1,0)、F2(1,0)的距离之和为2的点的轨迹为（）A．椭圆B．一条射线C．两条射线D．一条线段【训练2】已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(

)．

A．2B．6C．4D．12【训练3】点P是椭圆上的一点，F1，F2

是焦点，若∠F1PF2＝30°，则△PF1F2的面积为（）

A．5B．32+16C．32-16D．16[方法锦囊]

椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．【拓展】点P是椭圆(a>b>0)上的任一点，F1，F2

是焦点，若∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积为

（进行证明）解：由椭圆定义得[方法锦囊]

求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．OxyABF1F2F2xF2xF2xOF2xF1OF2xF1OF2xF1OF2xF1OF2xF1OF2xF1OF2xBF1OF2xBF1OF2x【训练3】．设F1，F2分别为椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点