北京海淀区明光中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

北京海淀区明光中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1参考答案：C【考点】导数的几何意义．【专题】导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．2.已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（

）

参考答案：C略3.定义在R上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，则（?RA）∩B=(

)A．（0，3） B．（0，3] C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可的结论．【解答】解：集合A={x|≥0}=（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞），∴（?RA）=[﹣1，3）B={x|log2x＜2}，∴，∴B=（0，4），∴（?RA）∩B=（0，3）．故选：A．【点评】本题考查不等式的解集及其集合间的运算．比较基础．5.在的展开式中常数项为A．28 B．－28 C．－56 D．56参考答案：A因为，故，又的展开式中的系数为，故选A.

6.设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则且是的（

）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件参考答案：C略7.等差数列中，，则它的前9项和A．9

B．18

C．36

D．72参考答案：8.“”是“”的（

）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要参考答案：A，则选A9.复数的虚部为A.2

B.

C.

D.参考答案：B略10.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．参考答案：1

12.在中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则

参考答案：略13.（不等式选讲选做题）己知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是

.参考答案：略14.已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．参考答案：﹣1【考点】反函数．【分析】由题意，x≤0，2x=，求出x，即可得出结论．【解答】解：由题意，x≤0，2x=，∴x=﹣1，∴f﹣1（）=﹣1．故答案为﹣1．15.已知函数对于下列命题：

①若

②若

③若

④若

⑤若

其中正确的命题序号是

。参考答案：①③略16.设实数x，y满足则的取值范围是．参考答案：略17.某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6，则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分

方差为

参考答案：85，

成绩平均分85，方差为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式。（2）若，，的前n项和为已知，求M的最小值．参考答案：由得-得：所以故数列是从第2项开始的等比数列．所以而不满足上式 所以 （2）由，，则 使用错位相减法可得：略19.某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共2000学生，期末考试数学成绩换算为100分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取100名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为9﹕1，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的[80，90），[90，100]的学生中，应届生与复读生的比例关系也是9﹕1，从抽取的[80，90），[90，100]两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望值．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）因为抽取的应届生与复读生的比为9﹕1，求出应届生抽取90人，复读生抽取10人，由此能确定确定高三应届生与复读生的人数．（2）由频率分布图中小矩形面积之和为1，得a=0.04，由此能求出此次数学成绩的平均分．（3）根据频率分布直方图可知抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，可知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与期望值．【解答】解：（1）∵抽取的应届生与复读生的比为9﹕1，∴应届生抽取90人，复读生抽取10人，应届生的人数为90×20=1800，复读生的人数为2000﹣1800=200．（2）10×（0.01+a+0.02+0.03）=1，∴a=0.04，平均分为10×（0.01×65+0.04×75+0.02×85+0.03×95）=82（3）根据频率分布直方图可知，抽取的[80，90），[90，100]的学生分别为100×0.2=20，100×0.3=30，抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，可知ξ=0，1，2，可知，，，∴ξ的分布列为：ξ012p∴．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.(本小题满分12分)已知函数．设时取到最大值．（I）求的最大值及的值；（II）在中，角所对的边分别为，，且，求的值．参考答案：21.已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积.参考答案：（Ⅰ）由题意知，所以，由正弦定理得，整理得，即，所以，.（Ⅱ）当时，由余弦定理得，所以，，所以.

22.(本小题满分12分)已知数列，前项和，且方程有一根为（＝1，2，3……）（Ⅰ）求的值（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并给出严格证明。（Ⅲ）设数列的前项和，试比较与的大小参考答案：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．……3分

当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．……

5分

(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．由此猜