2022-2023学年山东省烟台市栖霞栖霞镇南三里店中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年山东省烟台市栖霞栖霞镇南三里店中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U＝R，，，则A．

B.

C.

D.参考答案：D略2.设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，，则是（

）.

.偶函数，但不是周期函数

.偶函数，又是周期函数.奇函数，但不是周期函数

.奇函数，又是周期函数参考答案：D3.已知函数，x∈R，若≥1，则x的取值范围为（A） （B）（C） （D）参考答案：B略4.设；.若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（

）

参考答案：A5.已知，则不等式的集是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，，则＝

()参考答案：A7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）?f（a﹣x）=1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x∈时，f（x）的取值范围为，则当x∈时，f（x）的取值范围为（）A． B． C． D．R参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，则f（x）?f（﹣x）=1，则f（x）≠0，且f（1+x）?f（1﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1=f（x）?f（﹣x），则f（2+x）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，若x∈，则﹣x∈，2﹣x∈，此时1≤f（x）≤2∵f（x）?f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=∈，∵f（﹣x）=f（2﹣x）∈，∴当x∈时，f（x）∈．即一个周期内当x∈时，f（x）∈．∴当x∈时，f（x）∈．故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.集合A={x||x﹣2|≤2}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{x|﹣4≤x≤4}B．{x|x≠0}C．{0}D．?参考答案：C考点：绝对值不等式的解法；交集及其运算；函数的值域．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：解绝对值不等式|x﹣2|≤2可求得集合A，由y=﹣x2，﹣1≤x≤2可求得集合B，从而可得A∩B．解答：解：∵|x﹣2|≤2，∴﹣2≤x﹣2≤2，∴0≤x≤4，即A={x|0≤x≤4}；又B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，∴A∩B={0}．故选C．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的值域，考查交集及其运算，求得集合A与集合B是关键，数中档题．10.已知复数，且为实数，则

A.3 B.2 C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则_______

参考答案：3略12.设函数，若f(a)＝a，则实数a的值是__________．

参考答案：113.的展开式中，x3的系数是

.（用数字填写答案）参考答案：10试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.14.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________.参考答案：3/5略15.运行如图所示的程序，输出的结果是_______。参考答案：3考查算法中赋值语句，难度较小。a=1,b=2,a=a+b表示把a+b=1+2=3的值赋给a,最后输出a,故答案为3.16.已知定义在R上的函数则=

.参考答案：

17.若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为参考答案：0或2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。 （Ⅰ）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；参考答案：解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为，付2元为，付4元为

则所付费用相同的概率为

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8

分布列

略19.设函数y=cos2x+2cos2（﹣x）﹣1，x∈R（1）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在闭区间[﹣]上的最大值与最小值．参考答案：考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=2sin（+2x），再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在闭区间[﹣]上的最大值与最小值．解答： 解：（1）∵函数y=cos2x+2cos2（﹣x）﹣1=cos2x+cos（﹣2x）=cos2x+sin2x=2sin（+2x），∴f（x）的最小正周期为=π．（3）在闭区间[﹣]上，2x+∈[﹣，]，故当2x+=﹣时，函数y取得最小值为2×（﹣）=﹣；故当2x+=时，函数y取得最大值为2×1=2．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．20.在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知，．（I）求证：平面．（II）在线段上是否存在一点，使得平面，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．（III）设点在内（含边界），且，求所有满足条件的点构成的图形，并求的最小值．参考答案：见解析（I）证明：∵底面，∴底面，又平面，∴，∵为菱形，∴，而，∴平面．（II）存在点，当是中点，即时，平面．证明：连接，交于点，连接，则是中点，∵，且，分别是，的中点，∴是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，∴当点与点重合时，平面，此时，．（III）在内，满足的点构成的图形是线段，包括端点，连接，则，∵，∴要使，只需，从而需，又在中，，又为中点，∴，故点一定在线段上，当时，取最小值．在直角三角形中，，，，所以．21.如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．（Ⅰ）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；（Ⅱ）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，1，)，C(2sin，2cos，0)．设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，由得，取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，由平面COD⊥平面AOB得＝0，所以cos＝0，即＝．

………………6分（Ⅱ）设二面角C－OD－B的大小为，由(Ⅰ)得当＝时，cos＝0；当∈(，]时，tan≤－，cos=＝＝－，故－≤cos＜0．综上，二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]．

……12分

22.为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：组别候车时间人数一2二6三4四2五1（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

参考答案：解：（Ⅰ）由图表得：，所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.---------3分（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于.----