利用三角函数解实际中的方位角坡角问题

1.2锐角三角函数的计算（2）数学浙教版九年级下由锐角的特殊三角函数值可反求锐角∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=

我们已经知道:已知任意一个锐角,用计算器都可以求出它的函数值.反之，已知三角函数值能否求出相应的角度?知识点用计算器求出三角函数值对应的角度1

如图,将一个Rt△ＡＢＣ形状的楔子从木桩的底端点Ｐ沿着水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，如果木桩向上运动了1cm，楔子沿水平方向前进５cm（如箭头所示），那么楔子的倾斜角为多少度?CAFPBＮFPBCA解：由题意得，当楔子沿水平方向前进５cm，即ＢＮ＝５cm时，木桩上升的距离为ＰＮ,即PN=1cm．∠B=?在Rt△PBN中，tanB==接下来，我们将学习怎么用计算器求出三角函数值对应的角度？按键的顺序显示结果SHIFT20917.301507834sin－１·7=

已知三角函数值求角度，要用到sin，cos，tan的第二功能健“sin－１

cos－１，tan－１”健例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，即∠α＝17018’5.43”探求新知例1

根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到１”）（１）sinβ=0.4511;（2）cosβ=0.7857;（3）tanβ=1.4036按键盘顺序如下:按键的顺序最后计算结果SHIFT4051sin－１·1=按键的顺序最后计算结果SHIFT7087cos－１·5=按键的顺序最后计算结果SHIFT4106tan－１·3=Ｃ例2

如图，一段公路弯道AB两端的距离为200m,AB的半径为1000m,求弯道的长（精确到0.1m）⌒⌒ＡＢＯ解:作OC⊥AB于C,则AC＝BC＝100m在Rt△AOC中,sin∠AOC＝ACOA＝＝0.11001000∴∠AOC＝5044’21.01”∴∠AOB≈11.480∴AB＝11.48×1000π⌒180≈200.3(m)答:弯道长约为200.3m.2知识点方位角的应用问题方位角：如图所示，在平面上过观测点O画一条水平线(向右为东方)和一条铅垂线(向上为北方)，则从点O出发的视线与___________________的夹角，叫做方角．例如，图中点A的方向为北偏东30°，点B的方向为南偏西45°(或称为西南方向)．铅垂线(南北方向线)例3

某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线l(如图)．

救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处

有人发出求救信号．他立即沿AB方向前往救援，同时通知正在海

岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲

在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，

B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳

速度都是2米/秒．问谁先到达B处？请说

明理由．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，进而分别求得甲、乙到达B处所用的时间，比较二者的大小即可．解析：乙先到达B处．理由：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∵tan∠BCD＝∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．∵cos∠BCD＝∴BC＝∴t甲≈t乙≈∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．解：总

结解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化为求线段长度的问题．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(

)

A．40海里

B．60海里C．70海里

D．80海里练习1如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西

方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直

线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏

西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该

船的速度应该是(

)海里/小时．A．10B．5C．10D．5坡比、坡角：如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡比，坡面与__________的夹角叫做坡角，记做α.坡比与坡角的关系是，因而坡比越大，坡角α就__________，坡面就越陡.水平面越大3知识点坡角的应用问题例4水库堤坝的横断面是梯形（如图).测得BC长为6m，CD长

为60m，斜坡CD的坡比为1:2.5,斜坡AB的坡比为1:3.求：(1) 斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1′，宽

度精确到0.1m).(2)若堤坝长150m，则建造这个堤坝需用多少土石方(精

确到1m3)？CBD如上图，作BE⊥AD,CF⊥AD,点E,F为垂足.在Rt△CFD中，∴∠D≈21°48′.∴CF=CD×sinD=60×sin21°48′≈22.28（m），

DF=CD×cosD=60×cos21°48′≈55.71（m）.∵∴AE=3BE=3CF=66.84(m),

AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF=66.84+6+55.71=128.55≈128.6(m).解：(2)横截面的面积需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建

造这个大坝需用土石方约为224835m³.总

结解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形来解决问题.小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米，那么他下降了(

)A．1米B.米C．2米D.米2拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是(

)A．15mB．20mC．10mD．20m练习2如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为

h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.2.坡角是坡面与水平面间的夹角；坡度(或坡比)是坡面的

铅垂高度与水平长度的比.3.坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡面就越

陡；坡角的正切值等于坡比.4.